线代习题答--陈万勇版.doc

线性代数习题解答 ——陈万勇 习题一 1.1 利用对角线法则计算下列三阶行列式. (1); 解：=2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8-0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)? 解：=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-a3-b3-c3. (3); 解：=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2?(a-b)(b-c)(c-a). (4). 解：=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3 =3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 1.2 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数. (1)1 2 3 4; 解：逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解：逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解：逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n-1) 2 4 × × × (2n); 解：逆序数为: 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) × × × × × × (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 × × × (2n-1) (2n) (2n-2) × × × 2. 解：逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) × × × × × × (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) × × × × × × (2n)2, (2n)4, (2n)6, × × ×, (2n)(2n-2) (n-1个) 1.3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解：含因子a11a23的项的一般形式为：(?1)ta11a23a3ra4s, 其中r、s是2和4构成的排列? 这种排列共有两个? 即24和42? 所以含因子a11a23的项分别是 (?1)ta11a23a32a44?(?1)1a11a23a32a44??a11a23a32a44? (?1)ta11a23a34a42?(?1)2a11a23a34a42?a11a23a34a42? 1.4 计算下列各行列式. (1); 解： . (2); 解： . (3); 解： ? (4). 解： ?abcd+ab+cd+ad+1. 1.5 证明: (1)=(a-b)3; 证明： =(a-b)3 . (2); 证明： . (3); 证明：(c4-c3, c3-c2, c2-c1得) (c4-c3, c3-c2得) . (4)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d); 证明： =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). (5)=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 证明：用数学归纳法证明? 当n=2时, , 命题成立. 假设对于(n-1)阶行列式命题成立, 即 Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ × × × +an-2x+an-1, 则Dn按第一列展开? 有 =xD n-1+an=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 因此, 对于n阶行列式命题成立. 1.6 设n阶行列式D=det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转, 依次得 , , , 证明, D3=D . 证明：因为D=det(aij), 所以 ? 同理可证 . . 1.7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式). (1), 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0; 解：（按第n行展开) =an-an-2=an-2(a2-1). (2) 解：将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 ? 再将各列都加到第一列上, 得 =[x+(n-1)a](x-a)n-1. (3); 解：根据第6题结果? 有 此行列式为范德蒙德行列式? . (4); 解：(按