《本征值与本征向量》.pptVIP

7.5.1 特征值和特征向量的定义 例题（P290---例1、2、3，略） * * 一.内容分布 7.5.1 线性变换的本征值和本征向量的定义 7.5.2 本征值和本征向量的计算方法 7.5.3 与本征值和本征向量相关的几个问题 二.教学目的 1.理解本征值和本征向量的概念 2.熟练掌握求线性变换(矩阵)的本征值和本征向量 的方法 三.重点难点 线性变换(矩阵)的特征值和特征向量的求法 7.5 本征值和本征向量 复习与引入: 问题1: 在向量空间V中,同一线性变换关于不同基的矩阵有 什么关系? 这种关系是如何刻划的? 问题2: 矩阵的这种相似关系对于我们研究线性变换有什么 启发? 问题3: 线性变换关于向量空间V 中某个基的矩阵为这种简 单形式的矩阵(准对角矩阵或者甚至就是对角形),这与什么 理论有关?你认为应该怎样选取这个基呢? 即设dimV=n，σ∈L(V)，在什么条件下可找到V 的一 个基 ，使得σ关于这个基的矩阵为对角形 要做到这一点，从上节最后的分析结果知道在于V能否分解为σ的一维不变子空间的直和.我们将看到这不是总能办到的，因而只能从另外的方面讨论. 即： (*)? 显然,从解决的问题所满足的式子（*）给予我们一个 重要启示，即研究线性变换σ，很重要的一点就是设法去寻找满足条件 的数λ和非零向量 ，这就是下面要介绍的线性变换的本征值和本征向量问题. 值得一提的是: 本征值----也叫特征值; 本征向量----也叫特征向量. 以后我们可以根据自己的喜好称呼它们. 定义1：设V是数域F上的向量空间,σ是V 的一个线性变换.λ是 F 中的一个数，如果存在 V 中非零向量 ，使得 那么称λ为线性变换σ的一个特征值， 称为σ的属于特征值λ的一个特征向量. 2) 本征值和本征向量这两个概念是相互联系着的，它们的 关系是“共生”，有本征值必有本征向量；反过来，本征向量 是相对于某一本征值而言的; Note: 1) 本征向量必须是一个非零向量; 4）在关系式中，尽管 对于任意λ都成立，但此时的 却不是特征向量，因而要把它除外; 3） 的本征值 必须属于数域F(讨论的范围，基础域），否则 无意义; 5）特征值、特征向量与一维不变子空间有密切联系; 6）一个线性变换的本征值不唯一，且属于同一本征值的本 征向量亦不唯一(例2,例1); 7) 同一个线性变换的不同本征值的本征向量不同; 8）并不是每个线性变换都有特征值(例3). 7.5.2 寻求特征值和特征向量的方法 设(V,F,dimV=n), 是V 的基, σ关于这个基的矩阵是 令 令σ的属特征值λ 的一个特征向量,则 或 （＊) 由于 ,所以齐次线性方程组(＊)必有非零解,因而 由此可求特征值λ. 有非零解　　　　　　　，因而 反过来,若 满足 ,则齐次线性方程组(*) 满足　　　　　　，即　是　　的一个特征值，　就是 属于　　的一个特征向量． 对于行列式　　　　，我们给出 定义2：设 由此可求属于　的特征向量　． 则行列式 称为矩阵A的特征多项式． 称为A的特征方程， 称为矩阵A的特征矩阵． 由此不难看出，若Ａ是线性变换　关于Ｖ中某个基的矩阵， 而　是　的一个特征值，则　是Ａ的特征多项式　　的根 于是 由于同一个线性变换关于向量空间Ｖ中不同基的矩阵是相 似的，我们自然要问:相似矩阵是否具有相同的特征值呢? 　　定理7.5.1 相似矩阵具有相同的特征多项式，因而具有相同的特征值． 证明：令Ａ、Ｂ是线性变换　关于Ｖ中不同基的矩阵，则 存在可逆矩阵Ｔ，使Ｂ＝Ｔ－１ＡＴ，从而 由于矩阵A是线性变换 关于向量空间Ｖ中基的矩阵， 因此，矩阵Ａ的特征多项式就是线性变换　的特征多项式， 记为　　　，即　　　　　　． 于是又有： 定理7.5.2 设 ，　　　是σ的一个特征值的充要 条件是　是　的特征多项式　　　的一个根． 小结：求线性变换　的特征值和特征向量的方法．