《第二章平稳随机过程》.ppt

第二章：平稳随机过程 严平稳过程的定义 宽平稳过程的定义 平稳过程的数字特征 平稳过程自相关函数的性质 时间平均和集合平均的概念 平稳过程遍历性定义 遍历性判定定理 遍历性应用举例 严平稳过程的定义 宽平稳过程的定义 联合平稳过程 平稳过程自相关函数的性质 平稳过程自相关函数的性质 习题: 时间平均和集合平均概念 定理6.9 设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连续，则 在均方意义下存在，且随机过程{Y(t), t∈T}在区间[a,b]上均方可微，且有Y’(t)=X(t)。 集合平均 mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计平均。 时间平均 X(t)是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同，是个随机变量。 时间平均 集合平均 大数定理 设独立同分布的随机变量序列{Xn,n=1,2, …}，具有E[Xn]=m,D[Xn]=σ2,(n=1,2, …)，则 随时间n的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于该过程的统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各种可能的状态。 例题： 随机过程X(t)=acos(wt+θ),a,w为常数，θ为(0,2π)上均匀分布的随机变量，试分析X(t)集合平均和时间平均值、相关函数和时间相关函数。 定义6.10 设{X(t),-∞t∞}是均方连续的平稳过程，若 以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若 以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。 定义6.11 如果均方连续的平稳过程{X(t),t∈T}的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。 * * 平稳随机过程是一类应用广泛的随机过程，在稳定系统中出现的随机过程都属于平稳随机过程。 例如：纺织过程中棉纱横截面积的变化；军舰在海浪中的颠簸；电阻的热噪声； 这些随机现象的特点是：统计特性不随时间的推移而变化。 设{X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意常数τ和正整数n， t1,t2, …,tn∈T，t1+τ,t2+τ, …,tn+τ ∈T，(X(t1),X(t2), …, X(tn))与(X(t1+τ),X(t2+τ), …,X(tn+τ))有相同的联合分布，则称{X(t),t∈T}为严平稳过程或狭义平稳过程。 严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定。 当产生随机现象的一切主要条件可以视为不随时间的推移而改变时,这类过程可以看作为平稳的. 例如: 电子管中散弹效应引起的电路中的噪声电压;通信,自动控制等领域的许多过程都可以认为是平稳随机过程。 均值 mX(t)=E[X(t)]; 均方值 φ X(t)=E[X2(t)]； 方差 D[X(t)]=E[X2(t)]-[E(X(t))]2 =φX(t)-mX2(t); 自相关函数 RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]； 协方差函数 Cov(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2) 平稳过程的数字特征 对于平稳随机过程X(t)的一维分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+ τ)，若令τ =-t1，则 F1(X1,t1)=F1(X1,0)=F1(X1) (1 )因此平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规律相等。 (2)若随机过程X(t)平稳过程，则其均值、均方值和方差均为常数。 (3) 对于平稳随机过程X(t)的二维分布 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ε,t2+ ε)，若令ε=-t1，则 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1= τ ，则： F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;τ) (4)平稳过程的自相关函数是时间τ的单变量函数。 同理，协方差函数是时间τ的单变量函数 设{X(t),t∈T}是随机过程，如果 {X(t),t∈T}是二阶矩过程； 对任意t∈T，mX(t)=EX(t)=常数； 对任意s,t ∈T，RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(s-t)则称{X(t),t∈T}为广义平稳过程或宽平稳过程。 严平稳过程和宽平稳过程的关系 （1）宽平稳过程不一定是严平稳过程 （2）严平稳过程只有当二阶矩存在时为宽平稳过程 （3）但是对于正态过程，其分布由均值和自相关函数完全确定，二者是等价的。 例题1： 设Y