突破140分之高三数学解答题高端精品-专题14-极值点偏移第二招--含参数的极值点偏移问题-玩转Word版含解析.docVIP

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数. ★例1. 已知函数有两个不同的零点，求证：. 不妨设，记，则， 因此只要证明：， 再次换元令，即证 构造新函数， 求导，得在上递增， 所以，因此原不等式获证. ★例2. 已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明： 法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设， ∵，∴， ∴，欲证明，即证. ∵，∴即证， ∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数： 设， 则， 反解出：， 故，转化成法二，下同，略. ★例3.已知是函数的两个零点，且. （1）求证：；（2）求证：. 要证：，即证：，等价于， 也即，等价于，令 等价于，也等价于，等价于即证： 令，则， 又令，得，∴在单调递减， ，从而，在单调递减，∴，即证原不等式成立. 【点评】从消元的角度，消掉参数，得到一个关于的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式. ★例4.已知函数，若存在，使，求证：. 再证：. ∵， 而， ∴.证毕. 【招式演练】 ★设函数的图像与轴交于两点， （1）证明：； （2）求证：. （2）证明：由，易知且， 从而，令，则， 由于，下面只要证明：， 结合对数函数的图像可知，只需证：两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可， 又因为，即证：， 令，则， ∴在上单调递减，∴， ∴原不等式成立. ★设函数，其图像在点处切线的斜率为. 当时，令，设是方程的两个根， 是的等差中项，求证：(为函数的导函数）. ★设函数，函数为的导函数，且是的图像上不同的两点，满足，线段中点的横坐标为，证明： 【解析】∵，又依题意， 得在定义域上单调递增，所以要证，只需证， 即……? 不妨设，注意到，由函数单调性知，有， 构造函数，则， 当时，，即单调递减，当时，，从而不等式?式成立，故原不等式成立. ★已知函数. （1）若，求函数在上的零点个数； （2）若有两零点（），求证：. 【点评】1.方程的变形方向：①是函数的两个零点，1是该函数的极值点.②是函数的两个零点，是该函数的极值点. 2.难点的证明依赖利用放缩. ★已知函数 . （Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）设，证明：当时， ； （Ⅲ）设x1,x2是 【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）当时，f(a+x)f(a?x) （Ⅱ）令，则 . 求导数，得 ， 当时，，在上是减函数. 而， ， 故当时， （Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当时，函数至多有一个零点， 故，从而的最小值为，且， 不妨设，则， ， 由（Ⅱ）得 ， 从而，于是， 由（Ⅰ）知， . 点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（Ⅰ）中通过求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间．（Ⅱ）通过构造函数，把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数当时的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用（Ⅰ）（Ⅱ）问的结论. ★已知函数（）. （Ⅰ）若，求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若函数，对于曲线上的两个不同的点，，记直线的斜率为，若， 证明：. 【答案】（1）（2）见解析 由题设得 . 又 ， ∴ . 不妨设， ，则，则 . 令 ，则，所以在上单调递增，所以， 故. 又因为，因此，即. 又由知在上单调递减， 所以，即. ★已知函数，． （Ⅰ）求过点且与曲线相切的直线方程； （Ⅱ）设，其中为非零实数，有两个极值点，且，求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：． 【答案】（1）（2）见解析 ∴，解得 ∴切线的斜率为，∴切线方程为 （Ⅱ） ， 当时，即时， ， 在上单调递增； 当时，由得， ， ，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，由得， ， 在上单调递减，在上单调递增． 当时， 有两个极值点，即， ，即的范围是 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. ★已知函数. （1）证明：当时，； （2）若函数有两个零点， （， ），证明： . 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 试题解析： （1）欲证证， ， 在上递增， （2）， ， 令，易知在递减， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 要合题意，如图，，，右大于左，原