《D_齐次方程》.pptVIP

第三节 一、齐次方程 例1. 解微分方程 例2. 解微分方程 例3. 在制造探照灯反射镜面时, 说明: *二、可化为齐次方程的方程 例4. 求解 * * 齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、齐次方程 *二、可化为齐次方程 第十二章 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 代入原方程得 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 则有 分离变量 积分得 代回原变量得通解 即 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 (C 为任意常数) 求解过程中丢失了. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可得 ?OMA = ? OAM = ? 解: 设光源在坐标原点, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 取x 轴平行于光线反射方向, 从而 AO = OM 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO 于是得微分方程 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用曲线的对称性, 不妨设 y 0, 积分得 故有 得 (抛物线) 故反射镜面为旋转抛物面. 于是方程化为 (齐次方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 顶到底的距离为 h , 则将 这时旋转曲面方程为 若已知反射镜面的底面直径为 d , 代入通解表达式得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( h, k 为待 作变换 原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程) 定常数), 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求出其解后, 即得原方 程的解. 原方程可化为 令 (可分离变量方程) 注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 得 再令 Y＝X u , 得 令 积分得 代回原变量, 得原方程的通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束