浅谈数列中an与Sn关系(学生版).docVIP

PAGE PAGE 1 课题 浅谈数列中an与Sn的递推公式的应用 对于任意一个数列，当定义数列的前n项和通常用Sn表示时，记作Sn＝a1＋a2＋…＋an，此时通项公式an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))． 而对于不同的题目中的an与Sn的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用an＝Sn－Sn－1(n≥2)去解决不同类型的问题呢？ 我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的an与Sn相关的问题： 　　归纳起来常见的角度有： 角度一：直观运用已知的Sn，求an； 角度二：客观运用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求与an，Sn有关的结论； 角度三：an与Sn的延伸应用． 角度一：直观运用已知的Sn，求an 方法：已知Sn求an的三个步骤(此时Sn为关于n的代数式)： (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． 同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用Sn求解．如：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n－1，其中a1＋2a2＋3a3＋…＋nan表示数列{nan}的前n项和． 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3 C．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，n＝1,2n－3，n≥2)) D．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，n＝1,2n＋3，n≥2)) 2．(2015·河北石家庄一中月考)数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1) ·3n+1＋3(n∈N*)，则数列的通项公式an＝ ． 3．(2015·天津一中月考)已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝ ． 4．(2015·四川成都树德期中)已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2＋a6＝14． (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足： eq \f(b1,2)＋ eq \f(b2,22)＋…＋ eq \f(bn,2n)＝an＋1(n∈N*)，求{bn}的前n项和． 二：客观运用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求与an，Sn有关的结论 此类题目中，已知条件往往是一个关于an与Sn的等式，问题则是求解与an，Sn有关联的结论．那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留an，还是Sn．那么，主要从两个方向利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)： 方向一：若所求问题是与an相关的结论，那么用Sn－Sn－1＝an (n≥2)消去等式中所有Sn与Sn－1，保留项数an，在进行整理求解； 1．(2015·广州潮州月考)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1 ＝2Sn＋1(n≥1，n∈N*)，则数列的通项公式是 ． 2．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋1＝－4Sn＋1，a1＝1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 方向二：若所求问题是与Sn相关的结论，那么用an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去等式中所有项数an，保留Sn与Sn－1，在进行整理求解． 1．已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝eq \f(1,2)． (1)求证：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列； (2)求an的表达式． 2．(2015·江西名校联盟调考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且aeq \o\al(2,n)－2Snan＋1＝0． (1)求数列{Sn}的通项公式； (2)求证： eq \f(1,S1)＋ eq \f(1,S2)＋…＋ eq \f(1,Sn)＞2(Sn+1－1)．(提示： eq \f(1,\r(,n))＞ eq \f(1,\r(,n＋1)＋\r(,n))) eq\1,S1 角度三：an与Sn的延伸应用 解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，还需要对an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\