《第六章,第二节Lp-空间简介(续)》.ppt

第六章 函数空间Lp简介(续) 本讲目的：掌握Lp-空间中的按范数收敛概念，熟悉几种收敛概念的关系，了解Lp-空间的科学意义及其在微分、积分方程中的应用。 重点与难点：几种收敛概念的关系。 第二节 Lp-空间简介(续) 既然已经有了距离概念，我们便可以在 中定义序列的极限。 定义2设 ， ， ，如果 ，即 ，则 称 是 方平均收敛到 的可测函数列，或说 按 中范数收敛到 ，记作 第二节 Lp-空间简介 (续) 至此，我们又有了一种函数序列的收敛概念，这种收敛概念与前面的几乎处处收敛以及依测度收敛概念是什么关系？这是我们应该弄清楚的问题。 例1 令 ， 第二节 Lp-空间简介 (续) 则对任意 ， ，即 在 上处处收敛到 。然而，当把 看作 中的元素时，有 因此 按 中范数并不收敛到0。 第二节 Lp-空间简介 (续) 例2 设 ，记 令 …… 第二节 Lp-空间简介 (续) 我们已经知道 是处处不收敛到0的函数，现设 ，则在 中，有 若 , 则 由于 时，显然有 ，所以 即 。 第二节 Lp-空间简介 (续) 从例1、例2立知，处处收敛不蕴含 方平均收敛， 方平均收敛也不蕴含处处收敛。但下面的定理指出， 方平均收敛蕴含依测度收敛。 定理3 设 。且 ，则 。 第二节 Lp-空间简介 (续) 由于， 所以对任何固定的 有 ，即 证毕。 第二节 Lp-空间简介 (续) 推论 若 ， 且 ，则 。即 中序列的极限是唯一的。 证明：由定理3及 ， 知 ， ，再由第三章§2定理6知 ，故作为 中元，有 。 证毕。 第二节 Lp-空间简介 (续) 定理4 设 ，如果 ，则 证明：注意到 ， 及 第二节 Lp-空间简介 (续) 立得 所以 。证毕。 定理3及定理4都假定了 与 是 中的元素。我们知道欧氏空间 中的一个Cauchy序列，则该序列一定收敛到 中的某个元。 第二节 Lp-空间简介 (续) 这就是所谓的Cauchy准则，Cauchy准则成立的空间常称作完备空间。对于 ， Cauchy准则是否成立呢？也就是说，若 是 中的一个序列，且满足