应用回归分析(第三版)晓群-刘文卿-课后习题答案-完整版.docx

第二章 一元线性回归分析 思考与练习参考答案 2.1 一元线性回归有哪些基本假定? 答： 假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量； 假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi)=0 i=1,2, …,n Var (εi)=s2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关： Cov(Xi, εi)=0 i=1,2, …,n 假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi~N(0, s2 ) i=1,2, …,n 2.2 考虑过原点的线性回归模型 Yi=β1Xi+εi i=1,2, …,n 误差εi（i=1,2, …,n）仍满足基本假定。求β1的最小二乘估计 解： 得： 2.3 证明（2.27式），Sei =0 ，SeiXi=0 。 证明： 其中： 即： Sei =0 ，SeiXi=0 2.4回归方程E（Y）=β0+β1X的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给出证明。 答：由于εi~N(0, s2 ) i=1,2, …,n 所以Yi=β0 + β1Xi + εi~N（β0+β1Xi , s2 ) 最大似然函数： 使得Ln（L）最大的，就是β0，β1的最大似然估计值。 同时发现使得Ln（L）最大就是使得下式最小， 上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在εi~N(0, s2 )的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。 所以在εi~N(0, s2 ) 的条件下， 参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。 2.5 证明是β0的无偏估计。 证明： 2.6 证明 证明： 2.7 证明平方和分解公式：SST=SSE+SSR 证明： 2.8 验证三种检验的关系，即验证： （1）；（2） 证明：（1） （2） 2.9 验证（2.63）式： 证明： 其中： 2.10 用第9题证明是s2的无偏估计量 证明： 2.11 验证决定系数与F值之间的关系式 证明： 2.14 为了调查某广告对销售收入的影响，某商店记录了5个月的销售收入y（万元）和广告费用x（万元），数据见表2.6，要求用手工计算： 表2.6 月份 1 2 3 4 5 X 1 2 3 4 5 Y 10 10 20 20 40 画散点图（略） X与Y是否大致呈线性关系？ 答：从散点图看，X与Y大致呈线性关系。 用最小二乘法估计求出回归方程。 计算表 X Y 1 10 4 100 20 6 （-14）2 （-4）2 2 10 1 100 10 13 （-7）2 （3）2 3 20 0 0 0 20 0 0 4 20 1 0 0 27 72 72 5 40 4 400 40 34 142 （-6）2 和15 100 和Lxx=10 Lyy=600 和Lxy=70 和100 SSR=490 SSE=110 均3 均20 均20 回归方程为： 求回归标准误差 先求SSR（Qe）见计算表。 所以 给出 的置信度为95%的区间估计； 由于(1-a)的置信度下， 的置信区间是 查表可得 所以 的95%的区间估计为：（7—3.182*1.915，7+3.182*1.915），即（0.906,13.094）。 所以 的95%的区间估计为：（-1-3.182*6.351，-1+3.182*6.351）， 即（-21.211, 19.211）。的置信区间包含0，表示不显著。 计算x和y的决定系数 说明回归方程的拟合优度高。 对回归方程作方差分析 方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 F值 SSR 490 1 490 13.364 SSE 110 3 36.667 SST 600 4 F值=13.364F0.05(1,3)=10.13(当n=1,n=8时，α=0.05查表得对应的值为10.13),所以拒绝原假设，说明回归方程显著。 （8）做回归系数β1的显著性检验H0: β1=0 t值=3.656t0.05/2(3)=3.182,所以拒绝原假设，说明x对Y有显著的影响。 做相关系数R的显著性检验 R值=0.904R0.05(3)=0.878,所以接受原假设，说明x和Y有显著的线性关系。 对回归方程作残差图并作相应的分析 残差图(略) .从残差图上看出，残差是围绕e=0在一个固定的带子里随机波动，基本满足模型的假设ei~N(0, s2 ), 但由于样本