第二节向量组的线性组合.doc

WORD格式 可编辑 专业知识整理分享 第二节 向量组的线性组合 分布图示 ★ n维向量的概念 ★ 向量组与矩阵 ★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9 ★ 向量组间的线性表示 ★ 线性组合的应用 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2 内容要点 一、维向量及其线性运算 定义1 个有次序的数所组成的数组称为维向量, 这个数称为该向量的个分量, 第个数称为第个分量. 注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当时，维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当时，维向量没有直观的几何形象. 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个矩阵 每一列 组成的向量组称为矩阵的列向量组，而由矩阵的的每一行 组成的向量组称为矩阵的行向量组. 根据上述讨论，矩阵记为 或 . 这样，矩阵就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系. 矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组 的全体解当时是一个含有无限多个维列向量的向量组. 定义2 两个维向量与的各对应分量之和组成的向量，称为向量与的和, 记为，即 由加法和负向量的定义，可定义向量的减法： . 定义3 维向量的各个分量都乘以实数所组成的向量，称为数与向量的乘积（又简称为数乘），记为，即 . 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算. 注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) ; (2) ; (3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、向量组的线性组合 考察线性方程组 (1) 令 则线性方程组(1)可表为如下向量形式: (2) 于是, 线性方程组(1)是否有解, 就相当于是否存在一组数使得下列线性关系式成立： 定义4 给定向量组，对于任何一组实数, 表达式 称为向量组的一个线性组合, 称为这个线性组合的系数. 定义5 给定向量组和向量, 若存在一组数使 则称向量是向量组的线性组合, 又称向量能由向量组线性表示(或线性表出). 注：(1)能由向量组唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组有唯一解； (2) 能由向量组线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组有无穷多个解； (3) 不能由向量组线性表示的充分必要条件是线性方程组无解； 定理1 设向量 ， 则向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵与矩阵的秩相等. 三、向量组间的线性表示 定义6 设有两向量组 若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示, 则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示, 则称这两个向量组等价. 按定义, 若向量组B能由向量组A线性表示, 则存在 使 所以 其中矩阵称为这一线性表示的系数矩阵. 引理 若 则矩阵的列向量组能由矩阵的列向量组线性表示, 为这一表示的系数矩阵. 而矩阵的行向量组能由的行向量组线性表示, 为这一表示的系数矩阵. 定理2 若向量组可由向量组线性表示, 向量组可由向量组线性表示, 则向量组可由向量组线性表示. 例题选讲 维向量及其线性运算 例1 设 如果向量满足 求. 解 由题设条件,有 例2 (E01) 设 (1) 求 ; (2) 若有, 满足 求 解（1） （2）由得 例3 设 由于, 因此是的线性组合. 例4 证明:向量是向量的线性组合并具体将用表示出来. 证 先假定其中为待定常数，则 由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等，因此可得方程组: 于是可以表示为的线性组合，它的表示式为 例5 证明: 向量可以用多种方式表示成向量及的线性组合. 证 假定是数，它们使 这样便可得到一个线性方程组: （2） 这个方程组的解不是唯一的，例如以下二组数都是方程组(2)的解: 因此即向量可以用不止一种方式表示成另外3个