《论多项式恒等定理在初等数学中的应用》-毕业论文.docVIP

多项式恒等定理在初等数学中的应用 The Applications of Polynomial Identity Theorem in Elementary Mathematics 专 业: 数学与应用数学 作　　者: 指导老师: 摘 要 多项式恒等定理在多项式代数中占有重要地位. 它是多项式代数中一个重要定理——待定系数法的理论依据. 本文给出了多项式相等和恒等的定义与多项式恒等定理, 并介绍了利用多项式恒等定理证明组合恒等式, 进行多项式因式分解等初等数学中的几个方面的应用. 关键词: 多项式; 恒等; 多项式恒等定理; 待定系数法; 因式分解; 二项式定理 Abstract Polynomial Identity Theorem plays an important role in the polynomial algebra. It is an important algebraic polynomial theorem, and it is based on the theory for the undetermined coefficient method. In this paper, the definition of the same polynomials and Polynomial Identity Theorem have been given, and we introduced some applications of the polynomial identity theorem in elementary mathematics, such as using it to prove combinatorial identities and to factorize polynomial. Keywords: polynomial; identity; Polynomial Identity Theorem; undetermined coefficient method; factorization; Binomial Theorem PAGE 目录 TOC \o 1-3 \h \z \u HYPERLINK \l _Toc230285335 摘 要 PAGEREF _Toc230285335 \h I HYPERLINK \l _Toc230285336 Abstract PAGEREF _Toc230285336 \h II HYPERLINK \l _Toc230285337 0 引言 PAGEREF _Toc230285337 \h 1 HYPERLINK \l _Toc230285338 1 多项式恒等定理的有关理论 PAGEREF _Toc230285338 \h 1 HYPERLINK \l _Toc230285339 2 多项式恒等定理在初等数学中的应用 PAGEREF _Toc230285339 \h 4 HYPERLINK \l _Toc230285340 2. 1待定系数法 PAGEREF _Toc230285340 \h 4 HYPERLINK \l _Toc230285341 2. 2 在三角中恒等式中的应用 7 HYPERLINK \l _Toc230285342 2. 3证明恒等式 8 HYPERLINK \l _Toc230285343 2. 4 因式分解 10 HYPERLINK \l _Toc230285344 2. 5 多项式恒等定理解决二项式问题的应用 12 HYPERLINK \l _Toc230285345 参考文献 14 0 引言 多项式恒等定理在多项式代数中占有非常重要的地位. 对于形式表达式, 多项式与恒等即: 除去系数为零的项外, 同次项系数全相等. 从函数的观点考察, 数域上一个次数不超过的非零多项式在中至多有个根, 因此, 当取个不同的值时, , 那么一定有. 由此推出, 两个次数均不超过的多项式和, 如果对于的个不同的值, 都有, 那么. 关于多项式恒等定理的一些研究见文[3]-[5]. 它不仅是待定系数法的理论依据, 同时在初等数学中还有更广泛的应用. 在这篇文章中, 我们给出了多项式恒等定理相关的理论及证明, 并探讨它在初等数学中的应用. 1 多项式恒等定理的有关理论 定义1 设是一非负整数. 形式表达式 （1） 其中全属于数域, 称为系数在数域中的一元多项式, 或者简称为数域上的一元多