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练习题
填空题
1、设 为 阶 方 阵, 且 秩 , 则 齐 次 线 性 方 程 组 ( 为 的 伴 随 阵 ) 的 基 础 解 系 所 含 向 量 的 个 数 为__________.
2、 若 方 程 组 有 解 , 则 应 满 足 条 件 为________.
3、 方 程 组 有 解, 则 应 满 足 的 条 件 是_____________.
4、 若 方 程 组 有 无 穷 多 组 解, 则 、应 满 足 的 条 件 是____________.
5、 设 三 阶 矩 阵 有 一 个 特 征 值 为 , 且 及 的 主 对 角 线 元 素 的 和 为 , 则 的 其 余 二 个 特 征 值 为 __________。
6、 已 知 三 阶 方 阵 有 一 个 特 征 值 为 , 对 应 于 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 为 , , 则 __________。
7、 设 三 阶 可 逆 矩 阵 的 特 征 值 为 、、 , 则 的 伴 随 矩 阵 的 特 征 值 为 __________。
8、 设 为 正 交 矩 阵, 为 阵 的 特 征 根, 则 __________。
9、 若 方 程 组 只 有 零 解, 则 应 满 足 的 条 件 是____________
10、 二 次 型 的 矩 阵 表 达 式 为 =_______________________.
11、 二 次 型 的 矩 阵 表 达 式 为 =_____________________________.
12、二 次 型 的 矩 阵 形 式 为________________________________________________.
选择题
1、 二 次 型 的 标 准 形 是
2、 关 于 二 次 型 的 正 定 性 的 正 确判断是
(A) 正 定 的. (B) 负 定 的.
(C) 半 正 定 的. (D) 不 定 的.
3、 设 二 次 型 , 则
是 正 定 的 , 为 负 定 的 ,
即 不 正 定, 也 不 负 定 , 的 秩 为 。
证明题
1、 试 证 方 程 组 有 解 的 充 要 条 件 是, 并 在 有 解 的 情 况 下 求 其 解.
2、 设、 都 是 阶 矩 阵, 证 明 与 的 特 征 多 项 式 相 同。
3、 阶 方 阵 是 非 奇 导 的 充 分 必 要 条 件 是 的 特 征 值 全 不 为 零 ?
4、 设 A 是 n阶 正 交 矩 阵, 而 且 也 是 正 定 的, 求 证:A=E.
计算题
1、 解 方 程 组
2、 求 方 程 组 的 解
3、 求 解 方 程 组.
4、 求 解 方 程 组
5、 就 、取 值 情 况 讨 论 方 程 组 是 否 有 解, 解 是 否 唯 一?
6、 求 的 特 征 值 和 特 征 向 量, 并 判 定 是 否 与 对 角 阵 相 似。
7、 求 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量.
8、 求 正 交 变 换, 将 二 次 型 化 为 标 准 形.
9、 将 正 交 变 换 , 将二 次 型 化 为 标 准 形 .
10、 写 出 用 正 交 变 换 将 二 次 型 化 成 的 标 准 形。
11、用 正 交 变 换 化 二 次 型 为 标 准 形, 并 写 出 所 用 正 交 变 换。
12、 用 正 交 变 换 化 二 次 曲 面 方 程 为 标 准 方 程, 并 写 出 所 用 的 正 交 变 换 及 曲 面 的 名 称。
13、 写 出 二 次 型 的 矩 阵, 并 求 的 秩。
14、 试 求 二 次 型 的 矩 阵 的 特 征 值, 并 确 定 f 的 正 定 性.
15、 试 判 断 实 对 称 矩 阵 是 否 为 正 定 矩 阵 ?
参考答案
填空题
1、3
2、
3、, 任 意 实 数
4、
5、0、
6、, ,
7、、、
8、
9、
10、
11、
12、
选择题
1、A 2、D 3、C
证明题
1、对 方 程 组 的 增 广 矩 阵 作 初 等 变 换:
可 以 看 出 而 的 充 要 条 件 是: 所 以 方 程 组 有 解 的
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