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首届全国大学生数学竞赛决赛试卷
（非数学类，2010）
考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.
一、 计算下列各题（共20 分，每小题各5 分，要求写出重要步骤）.
n1 k k
(1) 求极限lim (1 )sin 2 .
n k 1 n n
2
axdydz (z a) dxdy 2 2 2
(2) 计算 ，其中 为下半球面z a y x 的上侧， .
2 2 2 a 0
x y z
a
(3) 现要设计一个容积为 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积 元，
V
而侧面的材料费为单位面积 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何
b
值时所需费用最少？
1 1 1
,
f (x ) 3 3
(4) 已知f (x ) 在4 2 内满足 sin x cos x ，求f (x ) .
二、（10 分）求下列极限
n
n 1 1 1
1 a n bn cn
(1) lim n 1 e ； (2) lim , 其中a 0,b 0, c 0 .
n n n 3
三、（10 分）设f (x ) 在x 1点附近有定义，且在x 1点可导， f (1) 0,f (1) 2 . 求
2
f (sin x cosx )
lim .
2
x 0 x x tan x
1 y
四、（10 分）设f (x ) 在[0,) 上连续，无穷积分0 f (x )dx 收敛. 求 lim 0 xf (x )dx .
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