第1届大学生数学竞赛试题-决赛解答.pdf

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案 （非数学类，2010） 一、（20 分，每小题5 分） n1 k k 1）求极限lim (1 )sin 2 . n k 1 n n 2 axdydz (z a) dxdy 2 2 2 2 ）计算 ，其中 为下半球面 的上侧， 为大于0 的  2 2 2  z  a y x a  x  y z 常数. 3 ）现要设计一个容积为 的一个圆柱体的容器.已知上下两底的材料费为单位面积 元，而侧面的 V a 材料费为单位面积 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最 b 少？ 1 1 1 4 ）已知f (x ) 在( , ) 内满足f (x ) 3 3 ，求f (x ) . 4 2 sin x cos x n1 k k 解 1）记 Sn ( 1 ) s i n ，则 2 k 1 n n n1  k k 1  Sn 1  2 o ( 2 ). k 1  n  n n   n1  n1 2 1 2 k  3 k o( ) n k 1 n k 1 n   5   2 3 6 2 ） 将 （或分片后）投影到相应坐标平面上化为二重积分逐块计算。  1 2 2 2 I 1 axdydz 2 a  (y z dydz) a  D yz D 2 2 2 其中 为yoz 平面上的半圆y z a ,z  0 。利用极坐标，得 yz 2 a 2 2 2 3 I 2 d a r rdr  a 1  0 3 1 2 1 2 2 2 2 I 2 (z a ) dxdy [a  a (x  y )] dxdy ， a a  D xy D