《二项式定理(三)杨辉三角》-课件.pptVIP

思考2:  1.求证： * 1.二项式定理： 2.通项规律： 3.二项式系数： 第(r+1)项 此法我们称为：赋值法 4.特殊地： 注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念 令以x=1得 课前复习： 把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当n依次取1，2，3，…时，可列成下表： (a+b)1→ 1 1 (a+b)2→ 1 2 1 (a+b)3→ 1 3 3 1 (a+b)4→ 1 4 6 4 1 (a+b)5→ 1 5 10 10 5 1 (a+b)6→ 1 6 15 20 15 6 1 …………………… 上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角) 1 在我国,很早就有人研究过二项式系数表,南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算法》中就有出现. (a+b)1…………… 1 1 (a+b)2……………1 2 1 (a+b)3…………1 3 3 1 (a+b)4………1 4 6 4 1 (a+b)5……1 5 10 10 5 1 (a+b)6…1 6 15 20 15 6 1 观察二项式系数表，寻求其规律： 3 10 15 不难发现,表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.事实上，设表中任一不为1的数为Cn+1r，那么它肩上的两个数分别为Cnr-1及Cnr，知道Cn+1r = Cnr-1+Cnr 这就是组合数的性质2. 除了这个性质外,该表还蕴藏有什么性质呢? (1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (a+b)n展开式的二项式系数依次是: (3)增减性与最大值. 增减性的实质是比较 的大小. (2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减小. (4)各二项式系数的和. (5)一连串系数的和. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 还有其他方法吗？ 可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，研究二项式系数的性质． (a+b)n展开式的二项式系数是 可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点. . . - - - - - - - - - - 10 8 4 6 2 16 20 f(r) . . . . . 3 6 9 r 继续思考1: 试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 即证： 证明：在展开式 中 令a=1，b=－1得 启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。 思考2:求证： 证明：∵ 倒序相加法 1.当n?10时常用杨辉三角处理二项式系数问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值; 3.常用赋值法解决二项式系数问题. 类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的. 知识要点3 例1 例1答案 例1答案2 例2 *