《NOI导刊基础算法(枚举、递推与递归)》-课件.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 递归的概念与基本思想 采用递归方法编写的问题解决程序具有结构清晰，可读性强等优点，且递归算法的设计比非递归算法的设计往往要容易一些，所以当问题本身是递归定义的，或者问题所涉及到的数据结构是递归定义的，或者是问题的解决方法是递归形式的时候，往往采用递归算法来解决。 递归的应用 解决有哪些信誉好的足球投注网站问题 处理递归定义或解决方法为递归方式的问题 实现分治思想 用于输出动态规划的中间过程 递归的应用（有哪些信誉好的足球投注网站树） 树结构是由递归定义的。因此，在解决与树有关的问题时，常常可以采用递归的方法。因为有哪些信誉好的足球投注网站产生的节点成树状结构，所以可以用递归方法解决。这类例子很多，如“N后”问题，哈密顿回路，图的可着色性等等。 递归的应用 例题：钢板分割问题。设有一块正方形的钢板，现需将它分成n个小正方形。例如，当： n=2 不可能有解。 n=3 不可能有解。 n=4 可分成4个小正方形钢板。 n=5 不可能有解。 n=6 即一个大的加五个小的。 n=7 即三个较大的加四个小的。 n=8 即一个大的加七个小的。 问题为任给n，求出分成n个小正方形的方法。 递归的应用 【分析】经过分析就可以得出： （1）按n=4的方法将1个小正方形分成4个，则增加了3个正方形。 （2）以n=6为基础，由（1）可以得出n=9，12，15，??????。 （3）以n=7为基础，由（1）可以得出n=10，13，16，??????。 （4）以n=8为基础，由（1）可以得出n=11，14，17，??????。 由此可以得出如下的递归算法： 递归的应用 procedure devide(i:integer); Begin if n8 then begin 分解成四小块； 对于其中一块devide(n-3) end else case n of 6: 按n=6分割； 7: 按n=7分割； 8: 按n=8分割； end; End; 递归的应用（实现分治思想） 不难发现，在各种时间复杂度为nlogn排序方法中，大都采用了递归的形式。因为无论是分治合并排序，还是堆排序、快速排序，都存在有分治的思想。只要分开处理，就可以采用递归。其实进行分治，也是一个建树的过程。 递归的应用（例题分析） 例题2：剔除多余括号 键盘输入一个含有括号的四则运算表达式，可能含有多余的括号，编程整理该表达式，去掉所有多余括号，原表达式中所有变量和运算符相对位置保持不变，并保持原表达式等价。 分析： 首先考虑人处理这个问题的方法，就是依靠符号来判断是否可以去括号。括号的前后，以及括号内的符号，都需要考虑。因此，可以按照人的处理方法，从最外层处理起，一层一层的去掉括号，这便是分治的思想。而由于每次分治的处理过程基本相同，用递归最为合适。 递归的应用（例题分析） 在递归过程中，对于正在处理的表达式s，如果s本身最外层就是多余括号，则去括号，并处理括号内的表达式（递归调用）；否则，可沿该表达式中的最低级运算符p，将其拆为两个表达式，分别进行处理（递归调用），并获得左右两表达式中的最低级运算符c1,c2，通过与p的比较，确定是否应添加括号。 递归的终止条件为：s是变量。 递归的应用（例题分析） 例如，处理表达式‘((a+b)*f)-(i/j)’,过程如下： ‘((a+b)*f)-(i/j)’,‘-’ ? ‘((a+b)*f),’*’ ‘(i/j),’/’ ‘(a+b)*f),’*’ ‘i/j’,’/’ ‘(a+b)’,’+’ ‘f’,’ ‘ ‘i’,’ ‘ ‘j’,’ ‘ ? ‘a+b’,’+’ ‘a’,’ ‘ ‘b’,’ ‘ 最后得出结果：‘(a+b)*f-i/j’。 递归的应用（输出动态规划的中间过程） 动态规划对空间要求较高，若要保存中间过程用于输出，则可能要增加一倍的空间需求。此时，如果采用递归输出，就完全不需要浪费这宝贵的空间。 例题：最佳航线问题 你在加拿大航空公司组织的一次竞赛中获奖，奖品是一张免费机票，可在加拿大旅