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第十一讲 第二章习题课 一．开集与闭集 1．P49 EX1 证明：的充要条件是在任何包含的开集（邻域）中都有的异于的点；而的充要条件是存在包含的开集（邻域），使得。 证明：（1）若，对任意包含的开集，必存在某个，使，而在内含有的异于的点，从而中含有的异于的点。反之，由假设知任意（它也是包含的邻域）中含有的异于的点，即是的聚点。 （2）若，则存在某，所以必要性成立。反之，若存在包含的开集（邻域）U，使得，由邻域的性质知存在某，从而，所以。 注：的邻域是“包含的邻域”，而“包含的邻域”不必是的邻域。 注：习题的结论表明：“的邻域”与“包含的开集”具有相似的性质。事实上，在一般的拓扑空间中，点的邻域就可以这样来定义。 2．EX6 证明：是闭集的充要条件是。 证明：“充分性”因为闭包是闭集，所以是闭集。“必要性”由假设，从而。 3．EX7 证明：闭集减去开集还是闭集；开集减去闭集还是开集。 证明：是闭，开，则闭；开。 4．EX9 证明：每个闭集都可表为可数个开集的交集；每个开集都可以表示为可数个 闭集的并集。 证明：（1）设是闭集。对任意的，令，则是包含的开集。所以。反之，若，则对每个，，于是存在某个，使，从而。由的任意性得到，而是闭集，所以。于是。所以。 （2）设是开集，则是闭集。故存在可数个开集，使。从而，其中都是闭集。 证法2【可以不讲】：令。 （1）证明是开集：对任意，则。取定使得，则存在，使。现记，则对任意的有 ， 所以。于是从而。所以是开集。 （2）显然；反之，对任意，则对任意的，，从而。而是闭集，所以。于是。 二．直线上的连续函数所确定的开集与闭集 1．EX8 设是上的实值连续函数，则对任意实数，集合是开集，而集合和都是闭集。 证明：设，则，从而由连续函数的局部保号性，存在，使当时有，于是，即是的内点。由的任意性知是开集。 设，则存在点列，使。由于且连续，所以，即，所以是闭集。 注：定理的逆也是成立的，即若定理中的分别为开集和闭集，则在上连续。 2．EX11证明：为上的函数，则在上连续的充要条件是对任意的实数c，集合和都是闭集。 证明1：“必要性”若无聚点，则是闭集。否则，设，则存在中的点列，使。由于，所以，从而由函数的连续性有。于是。所以是闭集。同理可证是闭集。 “充分性”任意取定。对任意的，由假设，集合 及 都是闭集，从而是开集（其中余集是在中取的！）。由于，所以存在某，使。从而当时，有意义，且满足 。 于是在点连续。由的任意性可知在上连续。 注：充分性也可以反证：若存在，使在点不连续，则存在，对任意的，都存在，使。令 ， 则由充分性的假设知是闭集。显然且，所以。于是 或 矛盾。所以必在上连续。 3．EX13设是上的函数，则连续的充要条件是：对任意的开集，其原像集合是开集。 证明：“必要性“设在上连续。 对任意的开集，若是空集，则它是开集。下设非空。设，则，由于是开集，所以存在，使。由的连续性，存在，使当时有，从而，所以是的内点。由此知是开集。 “充分性“设对任意的开集，是开集。 设，对任意的，则是开集，于是也是开集，且。于是存在，使得，从而当时有，即在点连续，从而在上连续。 注：上面的证明与空间的维数无关，所以结论对多元函数也成立。在一般的拓扑空间上的函数的连续性可以如上定义。 4．EX14 设是上的连续函数，证明集合（的图像）和（的下方图形）是中的闭集；而是中的开集。 证明：（1）设，则存在点列，使，于是 。由及的连续性得 ， 从而。所以是闭集。 （2）设，则有点列，使，于是，。于是，从而，所以是闭集。 （3）设，则。记，则由连续函数的局部保号性知，存在，当时有。记，则对任意，有，于是 （因为，所以），所以，从而。由此知是的内点，所以是开集。 注：（1）集合是的余集，所以可通过证是闭集来证明是开集。 （2）集合是开集的另一种证明： 定义二元函数，则是上的连续函数，且的充要条件是。对任意，由及连续函数的局部保号性，必存在某个，对任意的都有，从而，于是，所以是的内点。于是是开集。 5．EX15．设是定义在上的增函数，证明下面的集合是闭集： 。 证明：只需证是开集。 任取，则存在，使得。由函数的单调性知在区间内为常数。对任意的，都存在某个，使得，于是，即，故，所以是的内点。由此证得是开集，从而是闭集。 证法2：【反证】设是的聚点但，则存在使得，于是在上为常数。对任意的，存在邻域，于是，所以。由的任意性知，这与是的聚点矛盾。 三．EX12 1．EX12 如果满足：，则。 证明1：取。对任意，记 ， （是连线