公开课：角平分线性质.pptVIP

给出图形和数学语言 如图，P是∠AOB上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE。 求证：OP是∠AOB的平分线。 证明过程 角的平分线的判定 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 E D O A B P ∵P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE ∴OP是∠AOB的平分线 P C 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， PD＝PE． ∴OP平分∠AOB． 用数学语言表示为： 角平分线性质的逆定理 （角平分线的判定） 不必再证全等 A B C E F D 如图，△ABC中，D是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别 是E、F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线 课堂练习 已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上. A A A A A A A D N E B F M C A 课堂练习 动笔练一练 如图，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1和∠2的大小关系是（ ） ∠1=∠2 ∠1∠2 ∠1∠2 无法确定 A 我们之间就学习了三角形的角分线，之前谈到过，三条角分线一定交于一点，不过当时我们没有给出证明，而只是通过画图的方法给出了印证。 现在我们学习了角分线的性质和判定定理，怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例题。 动脑想一想 如图，△ABC的平分线BM，CN相交于点P。 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。 动脑想一想 证明： 过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F。 ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上 ∴PD=PE，同理PE=PF ∴PD=PE=PF 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 动脑想一想 根据PF=PD，且PD⊥AB，PF⊥AC的事实，你现在能得到什么结论？ 点P也在∠A的平分线上，也就是说，点A是三角形三条角平分线的交点。 动脑想一想 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 角分线的判定和性质 点在角平分线上 点到角两边的距离相等 判定 性质 学完本节课你应该知道 角的平分线 尺规画角的平分线 性质和判定 点在角平分线上 点到角两边的距离相等 判定 性质 会证明 练一练 填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB ∴___________ (___________________________________________) (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴__________ (_ ______________________________________________) A C D E B 1 2 ∠1= ∠2 DC=DE 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 动笔练一练 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB垂直于OB于B，下列结论一定成立的是（ ） PA=PB PO平分∠APB OA=OB 以上都一定成立 O A B P D 动笔练一练 如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是（ ） 线段CD的中点 CD与过点O做CD垂线的交点 CD与∠AOB的平分线交点 CD上任意一点 C O A B C D 3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。 求证：△DBE的周长等于AB。 A B C D E 证明：周长 =DE+EB+BD =CD+DB+EB =CB+EB =AC+EB =AE+EB =AB 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD 于H，FM⊥BC于M， G H M ∵点F在∠BCE的平分线上， 　 FG⊥AE， FM⊥BC， ∴FG=FM. 又∵点F在∠CBD平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC. ∴FM=FH. ∴FG=FH， ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 课堂练习 ∵FG ⊥AE,FH ⊥AD 如图，O是三条角平分线的交点， OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的 周长为15，求S△ABC A B C O M N G D 课堂练习