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5.3 同态和同构
5.3 同态和同构 代数学研究的对象是具有一种或多种二元运算的集合，但不是孤立地研究集合本身，而是将集合与它的二元运算一起讨论，研究群当然也是如此。当已知两个群和，可能它们各自的二元运算不同，我们期望在两个群之间建立某种对应关系，使得该对应关系仅涉及群中的二元运算，而各个群的元素具体是什么东西无关，那么从抽象的角度看，仅利用二元运算由某一个群导出的性质可以通过对应关系对应到另一个群上，这样可使我们的研究一般化，从而从一个群的研究达到对另一个群的讨论，为此，下面介绍两个重要的概念——同态和同构。 8.3.1 同态、同构的定义 8.3.2 同态的性质 循环群和置换群 5.5 群的应用 众所周知，群论在计算机密码学中有着重要的应用，特别是置换群和循环群的有关理论和方法一直被人们用于设计密码算法。事实上，早在公元前50年，群论诞生以前，古罗马大帝恺撒在高卢(古法国)战争中使用过的单表代换密码——恺撒密码，就使用了置换群的思想。 1 Wager-Magyarik公钥加密算法 1984年N.R.Waner和M.R.Magyarik利用了有限表示群的不可解的字问题，构造了第一个以群论思想为基础的公钥加密算法。 2 Anshel公钥加密算法 1993年，M.Anshel 和I.Anshel利用有限生成的群中的共轭问题提出了一个新的加密算法。 共轭问题(Conjugacy Problem)是指是否存在算法来判断群中给定的任意两个元素和是共轭元素。所谓两个元素和共轭是指，中存在元素，使得成立。关于群论中是否存在群有着算法上不可解的共轭问题，同样可由一个定理加以保证。 * *
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