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2018年高考数学专题复习突破训练高考真题专题练-构造函数解决高考导数问题.doc
构造函数解决高考导数问题
1.(2015·课标全国Ⅰ理)设函数,其中,若存在唯一的整数使得,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. (2016·课标全国II卷理)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .
3.(2016·北京理)(本小题13分)
设函数f (x)=x+bx,曲线y=f (x)在点(2,f (2))处的切线方程为y=(e-1)x+4,
(I)求a,b的值;
(II) 求f (x)的单调区间.
4.(2017·全国III卷文)(12分)
已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论的单调性;
(2)当a﹤0时,证明.
5. (2016?四川卷文)(本小题满分14分)
设函数f (x)=ax2-a-lnx,g(x)= EQ \F(1,x) - EQ \F(e,ex) ,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论f (x)的单调性;
(Ⅱ)证明:当x>1时,g(x)>0;
(Ⅲ)确定a的所有可能取值,使得f (x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.
6.(2016?课标全国Ⅱ文)(本小题满分12分)
已知函数.
(I)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)若当时,,求的取值范围.
7.(2017·天津文)(本小题满分14分)
设,.已知函数,.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)已知函数和的图像在公共点(x0,y0)处有相同的切线,
(i)求证:在处的导数等于0;
(ii)若关于x的不等式在区间上恒成立,求b的取值范围.
8.(2016·江苏)(本小题满分16分)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设a=2,b=.
①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;
(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.
9. (2016·山东理) (本小题满分13分)
已知.
(I)讨论的单调性;
(II)当时,证明对于任意的成立.
10. (2017·江苏文)(本小题满分16分)
已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:b23a;
(3)若, 这两个函数的所有极值之和不小于,求a的取值范围.
构造函数解决高考导数问题答案
1.(2015·课标全国Ⅰ理)设函数,其中,若存在唯一的整数使得,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意,存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,即存在唯一的整数x0,使(2x0-1)<a(x0-1).
设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1).g′(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),
从而当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(1,2)))时,g(x)单调递减;当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),+∞))时,g(x)单调递增.
又h(x)=a(x-1)必过点(1,0),g(0)=-1,当g(0)=h(0)时,a=eq \f(0-(-1),1-0)=1.
而g(-1)=-eq \f(3,e),当g(-1)=h(-1)时,a=eq \f(0-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,e))),1-(-1))=eq \f(3,2e),
要满足题意,则eq \f(3,2e)≤a<1,选D.
【点评】关键点拨:把“若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0”转化为“若存在唯一的整数x0,使得(2x0-1)<a(x0-1)”.
测训诊断:本题难度较难,主要考查导数知识的应用.考查转化与化归思想.
2.(2016·课标全国II卷理)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .
【答案】1-ln 2
【解析】设y=kx+b切y=ln x+2的切点为(x1,y1),切y=ln (x+1)的切点为(x2,y2).由导数的几何意义和切点的特征可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx1+b=ln x1+2=y1,,k=\f(1,x1),))① eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx2+b=ln(x2+1)=y2,,k=\f(1,x2+1).))②
由①消去x1,y1整理可得b=1-ln k,③
由②消去x2,y2整理可得b=-ln
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