《回归方法处理非线性曲线的数据拟合探讨》-毕业论文.docVIP

回归方法处理非线性曲线的数据拟合探讨 [摘要]本文从最小二乘法的相关理论出发，首先对几种不同的数据拟合方法进行比较、整合，吸取其中的优点，然后重点利用使误差的最大值达到最小的方法处理非线性曲线的数据拟合,其求解过程利用迭代法,避开使用矩阵,从而不会出现病态矩阵,并用实例加以说明. [关键词]回归方法;最小二乘法;数据拟合;非线性曲线;最小二乘积分法. 1 引言 自数据拟合概念提出以来,科学家们努力研究数据拟合的方法,想从大量的数据中提取出一些有效的数据,从而出现了很多有关数据拟合的方法,有根据专业知识和经验来确定经验曲线的近似公式,也有根据散点图的分布形状及特点来选择曲线拟合的必要数据;目前数据拟合的最常用方法是“最小二乘法”,但这里面也存在着一些很明显的弊端,如有可能所建立的矩阵的条件数变化异常,即（其中A是矩阵）系数矩阵的最大值相对很大,系数矩阵的行列式值相对较小,在求解方程的过程中,系数的微小变化可能会导致结果的不稳定性,出现病态矩阵,这样就会存在很大的误差,不利于研究;而利用使误差的最大值达到最小的方法来处理非线性曲线的数据拟合,克服了上述方法的缺陷, 其求解过程利用了迭代法，很有规律可循，根据该方法确定求解算法，利用计算机编程将很方便的对此方法进行求解，减少工作量，提高人们的工作效率,是有意义且值得推广使用的. 2 回归方法的相关知识 2.1 回归方程及两种模型 根据研究对象的物理背景或散点图可选择适当的非线性回归方程 其中及为未知参数(在此仅讨论含两个参数的非线性回归方程),为求参数及的估计值,往往可以先通过变量置换,把非线性回归化为线性回归,再利用线性回归的方法确定参数及的估计值.在非线性回归模型中可分为两种类型:一种类型是可以通过变量变换化成为线性模型,然后按线性模型加以解决:例如,,作变量变换: 令, , 于是有.将,视为自变量, 则这时就可以看成是变量,的线性函数, 这样就可应用线性模型计算参数. 另一种类型的非线性模型是用任何变量变换办法都不能直接化为线性模型求算参数,例如:植物病毒侵染的非线性回归数学模型:其中，为待定参数,为病毒浓度,为病毒侵染的半叶平均枯斑数.上式为非线性模型,而且这一模型用任何变量变换办法都不能直接化成线性模型求算参数,因此必须采用其它方法,如级数法(或称Gauss-Newton法)或麦夸特法(Marquardt)等. 2.2 回归分析及其主要解决的问题 值得注意的是,即使是具有确定性关系的变量,由于测量误差的影响,其表现形式也具有某种程度的不确定性.具有相关关系的变量间虽然不具有确定的函数关系,但是通过大量的观测数据,可以发现它们之间存在一定的统计规律,数理统计中研究这些统计规律或者说研究变量之间相关关系的方法就是所谓的回归分析.简单的说,回归分析就是一种处理变量与变量之间关系的数学方法,回归分析方法是处理变量之间相关关系的有力工具,它不仅提供建立变量间关系的数学表达式——经验公式,而且利用概率统计知识进行分析讨论,从而判断经验公式的正确性. 回归分析主要解决以下几方面的问题: 确定几个特定变量之间是否存在相关关系，如果存在的话，找出它们之间合适的数学表达式； 根据一个或几个变量的值，预报或控制另一个变量的取值，并且要知道这种预报或控制的精确度； 进行因素分析，确定因素的主次以及因素之间的相互关系等等。 2.3 一元线性回归方程的确定 数学上判定直线合理的原则是如果直线与全部观测数据的离差平方和,比任何其他直线与全部观测数据的离差平方和更小,该直线就是代表与之间关系较为合理的一条直线,这条直线就是和之间的回归直线. 设是平面上的一条任意直线,是变量的一组观测数据.那么对于每一个，在直线上确可以确定一个的值,与处实际观测值的差:就刻画了与直线偏离度.全部观测值与直线上对于的的离差平方和则为: 反映了全部观测值对直线的偏离程度,显然,离差平方和越小,愈能较好地表示之间的关系.用最小二乘法原理,通过选择合适的系数使最小 联合求解得: 此处求得后,回归方程为:，称为回归系数. 3 数据拟合的最小二乘法 3.1 最小二乘法的基本概念 设为给定的一组数据，为各点的权系数(通常要求0)，要求在函数类 中，求一函数 ， 满足 其中为中任意函数。 称按上述条件求函数的方法为数据拟合的最小二乘法,简称最小二乘法。并称为最小二乘解，为拟合函数。 3.2 正规方程组 设,求最小二乘解的关键是求待定参数。函数极值的必要条件 ， 令 并定义内积： 称方程组 ， 为函数系在离散点上的正规方程组，即 由基函数组成的行列式 所以法方程组有唯一解，。 从而是最小二乘解。 称为最小二乘解的平方误差，为均方差。 当取基底为时， 相应的法方程组为 当较大时，相应的法方程组为病态问题。 3.3 实例 根据199