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2018年全国卷高考复习--平面向量知识总结+题型.doc
PAGE
第一部分 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量;其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±eq \f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等,不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律:a+b=b+a.
(2)结合律:
(a+b)+c=
a+(b+c)
减法
求a与b的相反向量
-b的和的
运算叫做
a与b的差
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
λ(μa)=λμa;
(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.
【基础练习】
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)零向量与任意向量平行.( )
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.( )
(3)向量eq \o(AB,\s\up6(→))与向量eq \o(CD,\s\up6(→))是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.( )
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( )
(5)在△ABC中,D是BC中点,则eq \o(AD,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up6(→))+eq \o(AB,\s\up6(→))).( )
2.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(BA,\s\up6(→))相等.则所有正确命题的序号是( )
A.① B.③ C.①③ D.①②
3.(2017·枣庄模拟)设D为△ABC所在平面内一点,eq \o(AD,\s\up6(→))=-eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up6(→))+eq \f(4,3)eq \o(AC,\s\up6(→)),若eq \o(BC,\s\up6(→))=λeq \o(DC,\s\up6(→))(λ∈R),则λ=( )
A.2 B.3 C.-2 D.-3
4.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=____________.
5.(必修4P92A12改编)已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O,且eq \o(OA,\s\up6(→))=a,eq \o(OB,\s\up6(→))=b,则eq \o(DC,\s\up6(→))=______,eq \o(BC,\s\up6(→))=________(用a,b表示).
6.(2017·嘉兴七校联考)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=eq \f(1,2)AB,BE=eq \f(2,3)BC,若eq \o(DE,\s\up6(→))=λ1eq \o(AB,\s\up6(→))+λ2eq \o(AC,\s\up6(→))(λ1,λ2为实数),则λ1=________,λ2=________.
考点一 平面向量的概念
【例1】 下列命题中,不正确的是________(填序号).
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则“eq \o(AB,\s\up6(→))=eq \o(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c.
【训练1】 下列命题中,正确的是________(填序号).
①有向线段就是向量,向量就是有向线段;
②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
解析 ①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量;
②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;
③正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小;向量的模均为实数,可以比较大小.
答案 ③
考点二 平面向量的线性运算
【例2】 (2017·潍坊模拟)在△ABC中,P,Q分别是AB,BC的三等分点,且AP=eq \f(1,3)AB,BQ=eq \f(1
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