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.. 《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 是第 （ ）类边界条件，其中为边界. 5.设函数的傅立叶变换式为，则方程的傅立叶变换 为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有= （ ）. 8.计算积分 （ ） . 9.勒让德多项式的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）： 1. 2. 3. 三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） 四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）： 五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）： 六、在半径为1的球内求调和函数，使它在球面上满足，即所提问题归结为以下定解问题（10分）: (本题的只与有关，与无关) 《数学物理方程》模拟试题参考答案 填空题： 1.初始条件，边值条件，定解条件. 2. 3.. 4. 三. 5.. 6.. 7.. 8.. 9.. 10.. 二、试用分离变量法求以下定解问题 1.解 令，代入原方程中得到两个常微分方程： ，，由边界条件得到，对的情况讨论，只有当时才有非零解，令，得到为特征值，特征函数，再解，得到，于是再由初始条件得到，所以原定解问题的解为 2. 解 令，代入原方程中得到两个常微分方程： ，，由边界条件得到，对的情况讨论，只有当时才有非零解，令，得到为特征值，特征函数，再解，得到，于是再由初始条件得到，所以原定解问题的解为 3.解 由于边界条件和自由项均与t无关，令，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。因此，再由边界条件有，于是，.再求定解问题 用分离变量法求以上定解问题的解为故 三.解令，代入原方程中，将方程齐次化，因此，再求定解问题 由达朗贝尔公式得到以上问题的解为故 四.解 对y取拉普拉斯变换，对方程和边界条件同时对y取拉普拉斯变换得到，解这个微分方程得到，再取拉普拉斯逆变换有 所以原问题的解为. 五.证明 由公式有，令 有，所以，又，所以. 六．解 由分离变量法，令，得到，由边界条件有，令，，， ，