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部分数学奥赛题路详细分解
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部分奥赛解题思路详细分解
1 分 类
分类是一种很重要的数学思考方法,特别是在计数(数个数的问题中,分类的方法是很常用的。
【例1】数一数,图1-1中共有多少条线段?
【分析与解】图1-1中的线段可分为这样几类:
(1)以A为左端点的线段共4条,分别是:
AB,AC,AD,AE;
(2)以B为左端点的线段共3条,分别是:
BC,BD,BE;
(3)以C为左端点的线段共2条,分别是:
CD,CE;
(4)以D为左端点的线段有1条,即DE。一共有线段
4+3+2+1=10(条)。
还可以把图1-1中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。“基本线段”指AB、BC、CD、DE这样的线段,它们的两个端点之间没有标出其它的分点。按所含“基本线段”来分类,也是4类:
(1)只含1条基本线段的,共4条:
AB,BC,CD,DE;
(2)含有2条基本线段的,共3条:
AC,BD,CE;
(3)含有3条基本线段的,共2条:AD,BE;
(4)含有4条基本线段的,有1条,即AE。
分类,对于计数来说十分重要,因为当计数的对象没有规律地交错排列时,它能使我们的思考方向明确,条理清晰,而不容易发生差错。
【例2】 数一数,图 1-2中
共有多少个正方形?
【分析与解】图中的正方形可以分为两大类,第一类是“不斜的”,第二类是“斜着的”。在“不斜的”正方形中,又可分4类:
①边长是4个单位的1个;
②边长是3个单位的4个;
③边长是2个单位的9个;
④边长是1个单位的16个。
共有 1+4+9+16=30(个)
斜着的正方形共有多少个呢?
我们还是先分类。分类之前,应当注意到这样一个图(图1-3),中间画实线的部分与图1-2中不含斜线(不斜的)部分相同。因此,在“斜着的”正方形中,也可分4类,但边长是1个单位、边长是2个单位的比“不斜的”多,边长是3个单位、4个单位的与“不斜的”同样多,它们分别是:
①边长是4个单位的1个;
②边长是3个单位的 4个;
③边长是2个单位的(9+4=)13个;
④边长是1个单位的(16+8=)24个。
斜着的正方形共有
(1+4+9+16)+(4+8)=42(个)。
因此,图1-2中的正方形一共有
30+42=72(个)。
【例3】如图1-4,平面上有9个点,任意相邻两点之间的距离都相等,如果把其中任意几个点连起来,可得到各种图形。问:(1)可连成多少正方形?(2)可连成多少长方形?(3)可以组成多少直角三角形?
【分析与解】(1)可连成的正方形共有3类:边长是1个单位的,共4个;边长是2个单位的,有1个;边长等于小正方形对角线长的(斜的)有1个。所以,共可连成正方形:
4+1+1=6(个)
(2)可连成的长方形共有两类,一类是正方形(因为正方形是特殊的长方形),另一类是长和宽不等的长方形,有4个。所以共可连成的长方形有:
6+4=10(个)
(3)可组成的直角三角形有两类:
一类是,以每个长方形(包括正方形在内的)4个顶点为直角顶点(如图5、图6中阴影部分),这样的直角三角形每个正方形中都包含4个,一共有:
(6+4)×4=40(个)
另一类是,以图1-4中第二行中间那个点为直角顶点(如图1-7中阴影部分),这样的直角三角形共有:
1×4=4(个)
因而,用图1-4中的点共可连成直角三角形:
40+4=44(个)
请读者想一想:任意一个正方形(如图1-8),作出它的两条对角线以后可组成的直角三角形应当是8个,其中以4个顶点为直角顶点各1个,以对角线的交点为直角顶点有4个。为什么在上面的“分析”中只举出4个。是不是有遗漏?为什么?
【例4】 数一数,图1-9中共有____个梯形。
【分析与解】 要数出图中梯形的个数,首先要弄清楚图中的梯形共有几类。根据梯形的概念(一组对边平行,另一组对边不平行的四边形),图1-9中的梯形可分为4类:
(1)上底、下底与BC平行,并且上底短、下底长的;
(2)上底、下底与BC平行,并且上底长、下底短的;(3)上底、下底与AB平行的;(4)上底、下底与DC平行的。
在第(1)类中,又可把这些梯形分成4小类(假设AD的长为1个单位):
①下底长是5个单位的,有:
4×1=4(个)
它们都以BC为下底,AD、EF、GH、IJ为上底;
②下底长是4个单位的,有:
3×(2+1)=9(个)
它们分别以BL、KC和IJ为下底,对于每个下底,上底都有三种可能。比如,以BL为下底的梯形,上底可为IM、GN、EO;
③下底长是 3个单
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