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重要不等式及其用
* 制作单位:东方多媒体软件制作中心 制 作 人: 刘东方 联 合 推 出 引入新课 上节课我们学过证明不等式的哪一种方法?它的理论依据是什么? 求差比较法 即 a - b0 === ab , a - b=0 === a=b , a - b0 === ab . 由于不等式复杂多样,仅有比较法是不够的。如:(a+b)(b+c)(c+a)8abc; (a/b+b/c+c/a)(b/a+c/b+a/c) ≥9 等等。我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法。 如果a、b∈R ,那么( a-b ) 2属于什么数集?为什么? 当a=b时, (a-b) 2 =0,当a ? b 时, (a-b)2 0,所以 ( a-b ) 2≥0 ,即 ( a-b ) 2∈ R+U{0} 下面我们根据( a-b ) 2 ∈ R + U{0}这一性质,来推导一些重要的不等式,同时学习一些证明不等式的方法。 重要不等式及其应用 一、重要不等式的推导 1、奠基 课题 ii〉定理1 如果a、b∈R,那么 a2+b2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号) 以公式(1)为基础,运用不等式的性质推导公式(2)这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法。 i〉如果a、b∈R,那么有 ( a-b ) 2≥0 ( 1 ) 把(1)式左边展开,得 a 2 -2ab+b 2 ≥ 0 ∴ a2+b 2 ≥2ab ( 2 ) (2)式中取等号成立的充要条件是什么? 公式 2、探索 设a、b、c∈R,依次对其中的两个运用公式(2),有 a 2 +b 2 ≥2ab; b 2 +c 2 ≥2bc; c 2 +a 2 ≥2ca. 把以上三式叠加,得 a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+ca ( 3 ) (当且仅当a=b=c时取“=”号) 从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法—迭代与叠加. 由于 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2), 启示我们把公式(2)变成 a2-ab+b2≥ab, 两边同乘以a +b,为了得到同向不等式,这里要求a、b0, 得到 a3+b3≥a2b+ab2。 ( 4 ) 定理2 如果a、b、c>0,那么a3+b3+c3 ≥3abc (当且仅当a=b=c时取“=”号) 公式 3、再探索 考查两个以上实数的更高次幂的和,又能得到什么有趣的结果呢? 考查三个实数的立方和又具有什么性质呢? 由公式(3) 的推导方法,再增加一个正实数c,对b、c , c、a 迭代(4)式,并应用公式(2),得 2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2) ≥a ·2bc+b ·2ca+c ·2ab=6abc ∴ a3+b3+c3≥3abc
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