电动力学典型试题分析范文.doc

.WORD完美.格式编辑. PAGE .技术资料.专业整理. 典型试题分析 证明题： 1、试由毕奥－沙伐尔定律证明 证明：由式：又知：，因此 由 所以原式得证。 2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式 证：在一般的变化情况中，电场E的特性与静电场不同。电场E]一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A在内。得：，该式表示矢量是无旋场，因此它可以用标势描述，。因此，在一般情况下电场的表示式为：。即得证。 3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式。 答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物体沿x轴方向运动，以固定于物体上的参考系为。若物体后端经过点（第一事件）与前端经过点（第二事件）相对于同时，则定义为上测得的物体长度。物体两端在上的坐标设为。在上点的坐标为，点的坐标为，两端分别经过和的时刻为。对这两事件分别应用洛伦兹变换式得 ，两式相减，计及，有 式中为上测得的物体长度（因为坐标是在上同时测得的），为上测得的物体静止长度。由于物体对静止，所以对测量时刻没有任何限制。由式得。 试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系 答：由于静电场的无旋性，得： 设为由的两条不同路径。合成闭合回路，因此 即 因此，电荷由而只和两端点有关。把单位正电荷由电场E对它所作的功为： 这功定义为的电势差。若电场对电荷作了正功，则电势下降。由此，由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。 相距为的两点的电势差为 由于 因此，电场强度E等于电势的负梯度 试由恒定磁场方程证明矢势A的微分方程。 答：已知恒定磁场方程（在均匀线性介质内），把得矢势A的微分方程 由矢量分析公式 若取A满足规范条件 ，得矢势A的微分方程 6、试由电场的边值关系证明势的边值关系 证：电场的边值关系为：，式可写为 式中为由介质1指向介质2的法线。利用,可用标势将表为： 势的边值关系即得证。 试由静电场方程证明泊松方程。 答：已知静电场方程为：并知道 在均匀各向同性线性介质中，，将（3）式代入（2）得 ，为自由电荷密度。于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。 8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。 答：麦克斯韦方程组 表明，变化的磁场可以激发电场，而变化的电场又可以激发磁场，因此，自然可以推论电磁场可以互相激发，形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度并利用第一个方程，得到 ，再把第四个方程对时间求导，得到 ，从上面两个方程消去，得到 。这就是标准的波动方程。对应的波的速度是 试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件 解： 对于磁场B，把应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以上推导可得： 作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为，短边边长为。因为，作沿狭长矩形的E的路径积分。由于比小得多，当时，E沿积分为二级小量，忽略沿的路径积分，沿界面切线方向积分为： 即： 。可以用矢量形式表示为： 式中t为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。 令矩形面法线方向单位矢量为，它与界面相切，显然有 将，则 ，利用混合积公式，改写式为：此式对任意都成立，因此 ，此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的。 10、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程 答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有，把时谐电磁波的电场和磁场方程：代入麦氏方程组 消去共同因子后得 在此注意一点。在的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于，因而，即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。在此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。 取第一式旋度并用第二式得 由，上式变为 此为亥姆霍兹方程。 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电的情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下，导体内的电场线总是平行于导体表面。 证明：（1）导体在静电条件下达到静电平衡，所以导体内，而： （2）导体中通过恒定的电流时，导体表面。 而：，。导体内电场方向