数值计算方法习题答案及解析[第二版][绪论].doc

.WORD完美.格式编辑. .技术资料.专业整理. 数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x0, 求开方值的牛顿迭代公式 恒成立下列关系式： 证明： （1） （2） 取初值，显然有，对任意， 6 证明： 若有n位有效数字，则， 而 必有2n位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x的近似数可表示为，如果具有l位有效数字，则其相对误差限为，其中为中第一个非零数） 则，有两位有效数字，相对误差限为 ，有两位有效数字，相对误差限为 ，有两位有效数字，其相对误差限为： ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于， 其相对误差限为 同理对于，有 对于，有 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ， ，具有3位有效数字 ，具有7位有效数字 9.解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。 令,,所对应的真实值分别为,,，则 = 1 \* GB3 ① ∣-∣≤= ∣-∣/∣∣＜/2.72＜0.00184 = 2 \* GB3 ② ∣-∣≤= ∣-∣/∣∣＜/2.71828＜0 = 3 \* GB3 ③ ∣-∣＜= ∣-∣/∣∣＜/0.0718＜0.000697 12.解： = 1 \* GB2 ⑴ －= = 2 \* GB2 ⑵ 1-cosx==2 = 3 \* GB2 ⑶ ≈1+x++…+-1=x++…+ 13.解： = 1 \* GB2 ⑴ -= = 2 \* GB2 ⑵ =- 设=a，=b,则 == -= = 3 \* GB2 ⑶ ===- 习题一（54页） 5.证明： 利用余项表达式（11）（19页），当为次数≤n的多项式时，由于=0，于是有=－=0,即=，表明其n次插值多项式就是它自身。 9.证明： 由第5题知，对于次数≤n的多项式，其n次插值多项式就是其自身。 于是对于=1，有= 即，++= 则，++=1 11.分析： 由于拉格朗日插值的误差估计式为－= 误差主要来源于两部分和。 对于同一函数讨论其误差，主要与有关。 在（1）中计算x=0.472的积分值，若用二次插值，需取三个节点，由于0.472在1，2两个节点之间，所以应选1，2为节点，在剩下的两个点中，与0.472更靠近，所以此题应选,,为节点来构造插值多项式。 15.证明： 由拉格朗日插值余项公式有 ︱－︱≤≤︱︱︱︱ 由于==++ ≥ ︱－︱≤︱︱ 20.证明： 当n=1时，==C·=C 假设当n=k时，结论成立，则有 = C； = C； 那么，当n=k+1时， = =C= C 证明完毕。（类似的方式可证明第一个结论） 21.解： 由定理4（26页）可知： =,其中 当nk时，==0； 当n=k时，==； = 13.解： 由题意知，给定插值点为 =0.32,=0.314567;=0.34,=0.333487;=0.36,=0.352274 由线性插值公式知线性插值函数为 =+=+ 当x=0.3367时， ≈≈0.0519036+0.2784616≈0.330365 其截断误差为 ︱︱≤︱︱，其中=︱︱ =，=-，=︱︱≈0.333487 于是︱︱≤×0.333487×0.0167×0.0033≤0.92× 若用二次插值，则得 =++ ≈≈0.33