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抛物线及其标准方程 沙洲中学高二数学组 生活中存在着各种形式的抛物线 抛物线的生活实例 投篮运动 抛物线的生活实例 飞机投弹 请同学们观察这样一个小实验？ 平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 （注意：F不在I上） 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线L叫做抛物线的准线。 抛物线的定义 即: ︳ ︳ ︳ ︳ · · F M L N l N F M · · 求曲线方程的基本步骤是怎样的？ 想一想？ 抛物线标准方程的推导 回顾求曲线方程的一般步骤是： 1、建立直角坐标系，设动点为(x,y) 2、写出适合条件的x,y的关系式 3、列方程 4、化简 5、（证明） · · F M l N 设焦点到准线的距离为常数P(P0)如何建立坐标系,求出抛物线的标准方程呢？ 抛物线标准方程的推导 试一试？ K 标准方程 (1) (2) (3) L F K M N L F K M N L F K M N x x x y y y o o o x y o · · F M l N K 设︱KF︱= p 则F（ ，0），L：x =- p 2 p 2 设动点M的坐标为（x，y） 由抛物线的定义可知， 化简得 y2 = 2px（p＞0） 2 解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴 抛物线标准方程的推导 ( p 0) 方程 y2 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程 其中 p 为正常数，它的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离 抛物线的标准方程 即右焦点F（ ，0），左准线L：x =- p 2 p 2 但是，对于一条抛物线，它在坐标平面内的位置可以不同，所以建立的坐标系也不同，所得抛物线的方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。 方程 y2 = 2px（p＞0）表示的抛物线，其焦点 位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴 抛物线的标准方程 y x o ﹒ 抛物线的标准方程还有哪些形式? 想一想？ 抛物线的标准方程 其它形式的抛物线的焦点与准线呢？ y x o ﹒ ﹒ y x o y x o ﹒ y x o ﹒ 图象 开口方向 标准方程 焦点 准线 向右 向左 向上 向下 怎样把抛物线的位置特征（标准位置）和方程特征（标准方程）统一起来？ 抛物线的标准方程 想一想？ 抛物线方程 左右型 标准方程为 y2 =+ 2px (p0) 开口向右: y2 =2px(x≥ 0) 开口向左: y2 = -2px(x≤ 0) 标准方程为 x2 =+ 2py (p0) 开口向上: x2 =2py (y≥ 0) 开口向下: x2 = -2py (y≤0) 抛物线的标准方程 上下型 例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）y=2x2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0 焦点坐标 准线方程 （1 ） （2） （3） （4） （5，0） x= -5 （0，—） 1 8 y= - — 1 8 8 x= — 5 （- —，0） 5 8 （0，-2） y=2 课堂练习 注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式 例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F（-2，0） （2）准线方程 是x = （3）焦点到准线的距离是2 解：y2 =-8x 解：y2 =x 解：y2 =4x或y2 = -4x 或x2 =4y或x2 = -4y 1.由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中 都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件， 就可以求出抛物线的标准方程 2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解． 由例1.和例2.反思研究 已知抛物线的标准方程 求其焦点坐标和准线方程 先定位，后定量 例3：求过点A（-3，2）的抛物线的 标准方程。 ． A O y x 解：1）设抛物线的标准方程为 x2 =2py，把A（-3，2）代入， 得p= 2）设抛物线的标准方程为 y2 = -2px，把A（-3，2）代入， 得p= ∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。 课堂练习 3。抛物线的标准方程类型与图象特征的