初中数学培优竞赛讲座第25讲__奇数、偶数和奇偶分析范文.doc

专业整理 PAGE WORD格式 第二十五讲 奇数、偶数与奇偶分析 整数按能否被2整除分为两大类：奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质： 1．奇数≠偶数 2．两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下表所示 3．若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数． 4．设m、n是整数，则m土n，的奇偶性相同． 5．设m是整数，则m与，mn的奇偶性相同． 奇偶性是整数的固有属性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法． 例题 【例1】 三个质数之和为86，那么这三个质数是 ． (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 运用奇数、偶数、质数、合数性质，从分析三个加数的奇偶性人手． 注： 18世纪的哥尼斯堡，有7座桥把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来，在这迷人的地方，人们议论着一个有趣的问题．一个游人怎样才能不重复地一次走遍7座桥，而最后又回到出发点． 1736年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题．欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简单的几何图形，他指出只要我们能从一点出发，不重复地一笔把这样的图形画出来，那么就可说明游人能够不重复地一次走遍这7座桥，这就是著名的“一笔画”问题的来历． 利用奇偶分析不难得到一般的结论：凡是能一笔画成的图形，它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来，一笔出去．因此，除了起点和终点外的每一个点都有偶数条线和它相连． 简单地说，当且仅当图形中的奇结点(每点出发有奇数字线)的个数不大于2时，这个图形才能一笔画． 【例2】 如果a、b、c是三个任意的整数，那么（ ）． A．都不是整数 B．至少有两个整数 C．至少有一个整数 D．都是整数 (2001年TI杯全国初中数学竞赛题) 思路点拨 举例验证或从a、b、c的奇偶性说明． 【例3】 (1)设1，2，3，…，9的任一排列为al，a2，a3…，a9．求证：(all一1)( a2 —2)…(a9—9)是一个偶数． (2)在数11，22，33，44，54，20032003，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完成所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必定不等于2003． 思路点拨 (1)转换角度考察问题，化积的奇偶性为和的奇偶性来研究；(2)由于任意添“十”号或“一”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质人手． 【例4】已知都是+1或一1，并且，求证：n是4的倍数． 思路点拨 可以分两步，先证n是偶数2k，再证明k是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式． 【例5】 游戏机的“方块”中共有下面?种图形．每种“方块”都由4个l×l的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7× 4的长方形(可以重复使用某些图形)． 问：最多可以用这7种图形中的几种图形? 思路点拨 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品字型”必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方格各占2个黑格2个白格． 注：对同一个数学对象，从两个方向考虑(n项和与积)，再将这两个方面合在一起整体考虑，得出结论，这叫计算两次原理，通过计算两次可以建立方程，证明恒等式等． 在一定的规则下，进行某种操作或变换，问是否(或证明)能够达到一个预期的目的，这就是所谓操作变换问题，此类问题变化多样，解法灵活，解题的关键是在操作变换中，挖掘不变量，不变性． 一些非常规数字问题需要恰当地数学化，以便计算或推理．引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法． 所谓赋值法就是在解题时，将问题中的某些元素用适当的数表示，然后利用这些数值的大小，正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法． 【例6】桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否经过若干次这样的翻动，使全部的杯子口都朝下? 思路点拨 这不可能．我们将口向上的杯于记为：“0”，口向下的杯子记为“1”．开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数．一个杯子每翻动一次，所记数由0变为1，或由l变为0，改变了奇偶性．每一次翻动四个杯子，因此，七个之和的奇偶性仍与原