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第1章 矩阵 1.1 基本概念 一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换 √ √ √ √ √ 其中√ 表示有航班 始发地 A B C D 目的地 A B C D 例：某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地. B A C D 城市间的航班图情况常用表格来表示: √ √ 一、矩阵概念的引入 为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个矩形阵列： A B C D A B C D √ √ √ √ √ √ √ 这个矩形阵列反映了四个城市之间交通联接的情况. 其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量． 例：某工厂生产 4 种货物，它向 3 家商店发送的货物数量可 用矩形阵列表示为： 这 4 种货物的单价及单件重量也可列成矩形阵列： 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 由 m×n 个元素 排成 m 行（row） n 列（column）的矩形阵列 称为 m 行 n 列矩阵（matrix） ，简称 m×n 矩阵． 记作 二、矩阵的定义 或 简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵． 元素是复数的矩阵称为复矩阵． 这 m×n 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元. 元素是其它更一般数学对象的矩阵称为超矩阵 ． 本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵． 行数不一定等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表 行数等于列数 共有n2个元素 矩阵 行列式 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作An ． 只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量) . 只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量) . 元素全是零的矩阵称为零矩阵．可记作 O .例如： 三、特殊的矩阵 梯矩阵（P.3定义2） ： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零； 每个台阶只有一行； 阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素． 简化梯矩阵（P.4第1段） ： 非零行的第一个非零元是1; 这些非零元所在的列的其它元素都为零． d 表明其主对角线位置； m、l 分别标示上、下对角线的位置． 主对角线 副对角线 形如 的方阵称为上三角阵．记作 U ． 形如 的方阵称为下三角阵．记作 L ． 形如 的方阵称为对角阵．记作 (upper triangular matrix) (lower triangular matrix) 形如 的方阵称为对角阵． 特别地， 当 时， 称为数量阵或标量阵或纯量阵（scalar matrix）． 当 时， 称为单位阵（identity matrix）或幺阵，记作 In 或 En ． 记作 本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵． 今后常将1阶矩阵作为数对待， 但决不可将数看作1阶矩阵. 今后凡未作特别说明，讲到向量均指列向量． 注意事项（P.2~P.3） 表示一个从变量 到变量 线性变换， 其中 为常数. 四、矩阵与线性变换 n 个变量 与 m 个变量 之间的关系式 系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. 例：线性变换 称为恒等变换. 对应 单位阵 En 对应 投影变换 例：2阶方阵 对应 以原点为中心逆时针 旋转j 角的旋转变换 例：2阶方阵