线性代数(李建平)讲义__复旦大学出版社__第一章(精品·公开课件).ppt

思考题 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用Cramer 法则解方程组?为什么?此时方程组的解如何? 思考题解答 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解. 用Cramer法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 三、小结 计算行列式 例2 解 计算行列式 例3 解 (加边法)当x=0或y=0时，显然D=0，现假设x≠0,且y≠0, 例4 计算行列式 解 计算行列式 这个行列式叫做n阶范得蒙（Vandermonde）行列式. 从最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘 以 ，得 例5 解 提出每一列得公因子后，得 最后得因子是一个n-1阶范德蒙行列式，我们用来表 示，则有 同样得 此处 是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续 下去，最后得 引入行列式概念后，求解二、三元线性方程组， 时，方程组有唯一解， 含有n个未知数， n个方程的线性方程组，与二、三元线 性方程组类似，它的解也可以用n阶行列式表示。 第四节 克莱姆法则 当系数行列式 一 、 定理1（ Cramer法则）： 若n元线性方程组 的系数行列式D不等于零， 即 则线性方程组(1)有唯一解， 例1 用Cramer法则解线性方程组。 解： 注意 1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。 2.法则的理论意义：给出了解和系数及常数项之间的明显关系, 但用此法则求解线性方程组计算量大，一般不可取。 它主要适用于理论推导。 定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 则(1)一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 3.撇开求解公式 Cramer法则可叙述为下面定理： 线性方程组 则称此方程组为非齐次线性方程组。 二 非齐次与齐次线性方程组的概念: 若常数项 不全为零 此时称方程组为齐次线性方程组。 易知， 一定是方程组(2)的解， 称为零解。 若有一组不全为零的数是(2)的解，则称为非零解。 推论1 如果齐次线性方程组的系数行列式 则齐次线性方程组（2）只有零解（没有非零解）。 由克莱姆法则得出以下推论 推论2 注 (1) 推论2表明，D=0 是齐次线性方程组有非零解的必要条件， 如果齐次线性方程组的系数行列式D＝0，则它必 有非零解，从而得知，齐次线性方程组有非零解 的充分必要条件是系数行列式D＝0. 如果齐次线性方程组（2）有非零解，则它 的系数行列式D必为零. 在第四章中还将进一步证明: (2) 如果齐次线性方程组中未知量的个数大于方程的个数，则方程组必有非零解. 例2： 问 取何值时， 齐次线性方程组 解 有非零解？ 齐次方程组有非零解，则 所以 或 时齐次方程组有非零解。 例3 讨论当a、b取何值时线性方程组 有唯一解，并求出这个解。 解 故当 a ? 0 且 b ? 3 时方程组有唯一解。 又 所以，当a?0且b ?3时方程组的唯一解为 例4. 如果下列齐次线性方程组有非零解, k应取何值? 解: 如果方程组有非零解, 则D=0, 即k=1. 对于Cramer法则的推论，常被用来解决解析几何 n元齐次线性方程组解的问题: 例5 求空间的四个平面 相交于一点的条件. 解 四个平面相交于一点，即线性方程组 有唯一解。 从另一角度看，形式上可以把 看作是四元 线性方程组 的一组非零解。 因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是 所以，四平面相交于一点的条件为 1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的. 2、n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同行、不同列的各元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定. 小结 第二节　行列式的性质 将行列式D的行与列互换后所得到的行列式， 一、行列式的性质 定义7 称为D的转置行列式，记为DT或D′，即若 ,则 行列式与它的转置行列式相等，即D=DT 交换行列式的两行（列），行列式变号。 性质1 性质2 若行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零 推论1 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k， 性质3 等于用数k乘以此行列式.即 推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可 行列式中若有两行（列）对应元素成比例，则 推论2 以提到行列式的外面。 此行列式为零。 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如 则 性质4 将行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 性质5 k后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式的 值不变． 二、利用行列式的性质计算行列式 如果