线性代数§13(精品·公开课件).pptVIP

* §1.3 n 阶行列式的定义 一、概念的引入 三阶行列式 说明(1) 三阶行列式共有6项, 即3!项. 说明(2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积. 说明(3) 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数(行标为标准排列). 例如 a13a21a32, 将行下标标准排列, 列下标排列312的逆序数为 t (312)=1+1=2, 偶排列. a13a21a32 的前面取+号. 例如 a11a23a32, 将行下标标准排列, 列下标排列132的逆序数为 t (132)=0+1=1, 奇排列. a11a23a32的前面取–号. 其中Σ是对列下标的所有排列求和(3!项), t 是列下标排列 p1p2p3 的逆序数. 二、n 阶行列式的定义 定义: 设由 n2 个数排成一个 n 行 n 列的数表 作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积, 并冠以符号(–1)t, 得到形如 其中 p1p2 ··· pn 为自然数1, 2, ··· , n 的一个排列, t为排列p1p2 ··· pn的逆序数. 的项, 所有这 n! 项的代数和 称为(由上述数表构成的) n 阶行列式. 记作 简记作 det(aij). 数 aij 称为行列式 det(aij) (第 i 行第 j 列)的元素. 即 说明1. 行列式是一种特定的算式, 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的; 说明2. n 阶行列式是 n! 项的代数和; 说明3. n 阶行列式的每项都是位于不同行, 不同列 n 个元素的乘积, 的符号为(–1)t; 说明4. 一阶行列式的符号 | a | = a, 不要与绝对值符号相混淆, 一般不使用此符号. 例1: 计算对角行列式 解: 分析. 展开式中项的一般形式是 从而这个项为零, 同理可得: p2=3, p3=2, p4=1. 所以只能 p1=4; 若p1?4, 则 即行列式中非零的项为: (–1) t (4321) a14 a23 a32 a41 即 例2: 计算上三角行列式 解: 分析 展开式中项的一般形式是 所以非零的项只可能是: a11 a22 ··· ann . 从最后一行开始讨论非零项. 显然 pn=n, pn–1=n–1, pn–2=n–2, ··· , p2=2, p1=1, 即 显然 = 1?4?5?8 同理可得下三角行列式 对角行列式 例5: 设 证明: D1=D2. 中b的指数正好是 a的行标与列标的差 证: 由行列式定义有