高中立体几何证明方法和例题.doc

. WORD格式整理. . . .专业知识分享. . （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： 3. 平行与垂直关系的转化： 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： ? 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。 【典型例题】 （一）与角有关的问题 例1. （1）如图，E、F分别为三棱锥P—ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（ ） A. 60° B. 45° C. 30° D. 120° 解：取AC中点G，连结EG、FG，则 ∴∠EGF为AB与PC所成的角 在△EGF中，由余弦定理， ∴AB与PC所成的角为180°－120°＝60° ∴选A ? （2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ） 解： ∴选A ? ①点P到平面QEF的距离为定值； ②直线PQ与平面PEF所成的角为定值； ③二面角P—EF—Q的大小为定值； ④三棱锥P—QEF的体积为定值 其中正确命题的序号是___________。 解： ∴①对，②错 值，∴③对 综上，①③④正确。 ? 例2. 图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题： （1）求MN和PQ所成角的大小； （2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比； （3）求二面角M—NQ—P的大小。 解：（1）如图②，作出MN、PQ ∵PQ∥NC，又△MNC为正三角形 ∴∠MNC＝60° ∴PQ与MN成角为60° 即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为1：6 （3）连结MA交PQ于O点，则MO⊥PQ 又NP⊥面PAQM，∴NP⊥MO，则MO⊥面PNQ 过O作OE⊥NQ，连结ME，则ME⊥NQ ∴∠MEO为二面角M—NQ—P的平面角 在Rt△NMQ中，ME·NQ＝MN·MQ 设正方体的棱长为a ∴∠MEO＝60° 即二面角M—NQ—P的大小为60°。 ? 例3. 如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。 （1）求点P到平面ABCD的距离； （2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。 解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE ∵AD⊥PB，∴AD⊥OB（根据___________） ∵PA＝PD，∴OA＝OD 于是OB平分AD，点E为AD中点 ∴PE⊥AD ∴∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角 ∴∠PEB＝120°，∠PEO＝60° 即为P点到面ABCD的距离。 （2）由已知ABCD为菱形，及△PAD为边长为2的正三角形 ∴PA＝AB＝2，又易证PB⊥BC 故取PB中点G，PC中点F 则AG⊥PB，GF∥BC 又BC⊥PB，∴GF⊥PB ∴∠AGF为面APB与面CPB所成的平面角 ∵GF∥BC∥AD，∴∠AGF＝π－∠GAE 连结GE，易证AE⊥平面POB （2）解法2：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA ? （二）与距离有关的问题 例4. （1）已知在△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离是（ ） A. 13 B.