线性代数课件-41向量空间(精品·公开课件).ppt

定义4.3 在Rn中，n个线性无关的向量 ?1， ?2，… ?n称为Rn的一组基。 补充：?1， ?2，… ?m是Rn的一组基 定义4.4 设?1 ， ?2，… ?n是Rn的一组基，则R中的任一向量? 都可唯一表示为 =x1 ?1 + x2 ?2 +…+ xn ?n 称系数x1, x2, …, xn为向量?在基?1 ， ?2，… ?n 下的坐标，记作（ x1, x2, …, xn ） 设?在基 下的坐标为（ x1, x2, …, xn ） 求旧基 到新基 的过度矩阵的方法(P160) : 例2 已知R3的一组基 例3 已知R4的两组基为： 求基 到 的过度矩阵Q。 由基坐标的唯一性，得 【例4】设R3的两组基为： 【例4】设R3的两组基为： 三、子空间及维数 小结 二、主要结论 三、计算题型： 3、求旧基 到新基 的过度矩阵 * n维向量 所有分量为实数的n维向量构成的集合 称为一个n维向量空间 §4·1 向量空间 n维向量组 线性无关， 且任意n+1个n维向量线性相关 n 例如：n维单位向量组?1， ? 2，… ? n是Rn的 一组基。 该基称为Rn自然基或标准基。 也是Rn的一组基。 再如： 因为 即 线性无关 所以 也是Rn的一组基。 二、基与坐标 Rn的一个极大无关组 1、 ?i∈ Rn 2、m=n 3、 ?1， ?2，… ?m线性无关 例如： 对n维向量空间 若?1， ?2，… ?n是Rn的一组基， 则?1， ?2，… ?n线性无关， 且Rn中任意n+1个向量线性相关 ,有?，?1，?2，…?n线性相关 由P107定理3·3， 即对任意 ?∈Rn ，存在唯一一组x1,x2,… ,xn 使 ? =x1?1+x2?2+…+xn?n 即对任意 ?∈Rn ?可由?1， ?2，… ?n线性表示， 且表法唯一。 【例1】对于上述两组基 和 求向量 分别在两组基下的坐标 解：因为 所以 在基 下的坐标为 行向量 由此得线性方程组: 所以 在基 下的坐 标为： 即有 【例（补）】已知R3的一组基 求向量 在基 下的坐标 解： 设?在基 下的坐标为（ x1, x2, x3 ） 即有 做矩阵 所以?在基 下的坐标为（ 2，3，-1） 求向量?在基 下的坐标： 设?在基 下的坐标为（ x1, x2, …, xn ） 即有 做矩阵 行变换 则向量?在基 下的坐标： 三、过度矩阵 设向量组 与 为Rn的两组基， 则向量 可由 线性表示 （*） B=AQ （*） （*） 旧基 新基 旧基到新基的过度矩阵 =Q Q= 取矩阵 称矩阵Q为旧基 到新基 的过度矩阵 定义4·5 设向量组 与 为Rn的 两组基，向量 可由 线性表示 ′ 对基 和 及关系式 取 （*） 或 B=AQ （*）的矩阵形式： 即 P159 证明： 取 则有 B=AQ 由于 线性无关， A可逆 B可逆 线性无关， 所以Q=A-1B可逆 P159 定理4.1 由旧基 到新基 的过度矩阵Q可逆。 取 则过度矩阵Q=A-1B 由 行变换 求自然基 到 的过度矩阵Q。 解 令 则所求的过渡矩阵 解 令 则所求过度矩阵为 Q=A-1B 故