弦长公式[高二版椭圆].doc

专业整理 PAGE WORD格式 圆锥曲线综合问题 1. 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。 （1）若已知直线过点，则假设方程为； （2）若已知直线的斜率，则假设方程为； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4）若已知直线恒过轴上一点，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设 直线为。【反斜截式，】不含垂直于y轴的情况（水平线） 2.弦长公式：若直线与椭圆相交于两点，求弦长的步骤： 设，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）： 消去整理成关于的一元二次方程：， 则是上式的两个根，；由韦达定理得： 又两点在直线上，故，则，从而 【注意：如果联立方程组消去整理成关于的一元二次方程：，则 】 3、其他常见问题处理 （1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合） （2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于），其次考虑是否需要求圆的方程。 （3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解； （4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：； （5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义； （7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。 例1．（2007山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线(注：左右准线方程为)间的距离为4 (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程. 例1.解：(1). （Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 由，消去y得关于x的方程： 由直线与椭圆相交于A、B两点，解得 又由韦达定理得, 点到直线的距离，. 令， 则， 当且仅当即时， 此时.所求直线为解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点， 由解法一知且， 解法1： = .下同解法一. 解法2：=。 例2：已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为． （Ⅰ）设 ，证明：；（Ⅱ）求四边形的面积的最小值． 例2：解：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以 (处理方法一)． （处理方法二） （Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得． 设，，则， ；因为与相交于点，且的斜率为，同理可得（这里AC和BD都过P与椭圆相交）故四边形的面积, 注意 ． , 当时，上式取等号． （ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积． 四边形的面积的最小值为．【也可以令，或者对分母用基本不等式】 例3、[2014·陕西文] 已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)经过点(0，eq \r(3))，离心率为eq \f(1,2)，左、右焦点分别为F1，F2． (1)求椭圆的方程；(2)若斜率为－eq \f(1,2)的直线l与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足eq \f(|AB|,|CD|)＝eq \f(5\r(3),4)，求直线l的方程． 例3．解： (1)椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. (2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，∴圆心(0，0)到直线l的距离d＝eq \f(2|m|,\r(5)). 由d1，得|m|eq \f(\r(5),2)，(*) ∴|CD|＝2eq \r(1－d2)＝2eq \r(1－\f(4,5)m2)＝eq \f(2,\r(5))eq \r(5－4m2).（垂径定理） 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))得x2－mx＋m2－3＝0，0 x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3，∴|AB|＝＝eq \f(\r(15),2)eq \r(4－m2). 由eq \f(|AB|,|CD|)＝eq \f(5\r(3),4)，得eq \r(\f(4－m2,5－4m2))＝1，解得m＝±eq \f(\r(3),3)，满足(*)．∴直线l的为y＝－eq \f(1,2)x eq \f(\r(3),3) 例4、(2014全国I卷理)已知点A(0