设随机变量X概率密度为.ppt

契比雪夫不等式给出了在未知X分布的情况下, 估计事件{|X-μ|ε}概率的方法.在上式中分别取 ε=3σ,4σ得 由对立事件概率公式可得契比雪夫不等式的另一 形式: §3.常见重要分布的期望与方差 一、二项分布 设X服从参数为n,p的二项分布B(n,p),则其分布律为 在§2例10中已经求得 设X服从参数为λ的二项分布P(λ),则其分布律为 二、泊松分布 由幂级数展开式 与期望、方差 定义得 故 设X服从参数为μ,σ2的正态分布N(μ,σ2),则其概率密度为 其中 数学期望为： 奇函数在对称区间上的积分为零 换元 标准正态概率密度性质 三、正态分布 * * 第四章 随机变量的数字特征 ? 数学期望及其性质 ? 方差及其性质 ? 协方差与相关系数 ? 契比雪夫不等式 ? 常见的重要分布的数字特征 分布函数能完全描述随机变量的统计特性，但求 分布函数常常是困难的，且在很多实际问题中，只需 知道随机变量的某些特征，而不必求分布函数。 由于这些随机变量的特征通常是与随机变量有关 的数值，故称它们为随机变量的数字特征。 本章介绍常用数字特征：数学期望，方差，协方 差，相关系数和矩。数学期望是最重要的一种，其余 都可以由它来定义。 引言 §1、数学期望 【引例】枪手进行射击，规定击中区域I内得2分， 击中区域II内得1分，脱靶（击中区域III）得0分。 II I III 枪手每次射击的得分X是一个随机变量，其分布律为 现射击N次,其中得0分的有 次,得1分的有 次,得2分的有 次, 于是,射击N次的总分为 从而,每次射击的平均分为 在第五章大数定律中可证明:当N无限增大时,频率 接近于概率 ,故当N很大时, 这表明:随着试验次数增大,随机变量X的观察值的算术平均 接近于 称后者为随机变量X的数学期望(均值). 定义1 随机变量X的数学期望记为E(X),定义为 其中无穷级数或广义积分均绝对收敛， 分 别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X 的概率密度。 (1) 一、概念 试评定甲乙成绩的优劣。 〖解〗这是离散型随机变量。由数学期望定义得： 由 知：甲的成绩远胜过乙的成绩。 □ 【例1】甲乙两人进行射击所得分数分别为X1，X2，其 分布律分别为 求E(X)。 〖解〗这是连续型随机变量。由数学期望定义得： □ 分段函数的积分 【例2】(设在某一规定时间间隔里，某电气设备用 于最大负荷的时间X(分钟)是一个随机变量,其概率密度 为 定理1 设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，则Y 也是随机变量，且其数学期望为 (2) 利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理: 二、随机变量函数的数学期望 其中无穷级数或广义积分均绝对收敛， 分 别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X 的概率密度。 其中无穷级数或广义积分均绝对收敛, 分 别为离散型随机变量(X,Y)的分布律和连续型随机 变量(X,Y)的概率密度。 定理2 Z=g(X,Y)是随机变量(X,Y)的连续函数， 则Z也是随机变量，且其数学期望为 (3) 其中k,m为自然数。 可见,方差是二阶中心矩,协方差是二阶混合中心 矩，它们都是随机变量函数的数学期望。 —X与Y的协方差（§4） 【例3】 〖解〗设X为随机取一球的标号,则r.v.X等可 能地取值1,2,3,4,5,6; 又Y=g(X),且 g(1)= g(2)= g(3)=1; g(4)= g(5)=2, g(6)=5. 故随机摸一球得分的期望为 □ 【例4】一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从 指数分布,其概率密度为 〖解〗这是求连续型随机变量函数的数学期望。 工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换.若工 厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费 300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望. 设售出一台设备的净赢利为 □ 故售出一台设备的净赢利的数学期望为 D 〖解〗这是二维连续型随机变量函数的数学期望。联合概