线性代数第五讲_矩阵初等变换及其性质.ppt

第五讲 矩阵的初等变换 一 三种初等变换 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算? 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都起重要的作用? 二 用初等变换化简矩阵为阶 梯形、行最简形 本讲主要讨论两个问题 1 方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中? 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程? 这种变换过程称为同解变换? 一 三种初等变换 同解变换有? (1) 交换两个方程的位置? (2) 把某个方程乘以一个非零数? (3) 某个方程的非零倍加到另一个方程上? ??? ??? ①?② ①?② 交换(A b) 的第1行与第2行 增广矩阵的比较? 例1 (A b)= 2 -1 -1 1 2 1 1 -2 1 4 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9 2 -1 -1 1 2 1 1 -2 1 4 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9 ??? ??? ③?2 ③?2 (A b)第3行乘以1/2 例1 增广矩阵的比较? (A b)= 2 -1 -1 1 2 1 1 -2 1 4 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9 2 -1 -1 1 2 1 1 -2 1 4 2 -3 1 -1 2 3 6 -9 7 9 ??? ??? ①?2② ①?2② (A b) 第2行乘以(?2)加到第1行 例如 增广矩阵的比较? (A b)= 2 -1 -1 1 2 1 1 -2 1 4 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9 0 -3 3 -1 -6 1 1 -2 1 4 2 -3 1 -1 2 3 6 -9 7 9 定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换： 对调两行，记作 ； 以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ； 某一行加上另一行的 k 倍，记作 . 把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义． 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换． 初等变换 初等行变换 初等列变换 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 r2?r4 ———? 1 5 -1 -1 3 8 -1 1 例1 r1×2 ———? -9 3 7 8 -1 1 1 -2 1 3 2 10 -2 -2 ———? r1-r4×2 -9 3 7 8 -1 1 1 -2 1 3 0 14 -4 -8 二 阶梯形、行简化阶梯形、标准形矩阵 1 行阶梯形 行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零； 每个台阶只有一行； 阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素. 行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零； 每个台阶只有一行； 阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素. 行最简形矩阵： 非零行的第一个非零元为1; 这些非零元所在的列的其它元素都为零. 行最简形矩阵： 非零行的第一个非零元为1; 这些非零元所在的列的其它元素都为零. 标准形矩阵： 左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零. 任何矩阵 行最简形矩阵 行阶梯形矩阵 标准形矩阵 有限次初等行变换 有限次初等列变换 有限次初等变换 结论 有限次初等行变换 例1 阶梯形,行简化阶梯形，标准形 5 1 3 8 4 7 2 0 0 2 5 6 8 7 5 0 0 3 4 5 2 6 9 0 0 0 0 0 4 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E= 例1 阶梯形,行简化阶梯形，标准形 例2 阶梯形,行简化阶梯形，标准形 例 3 阶梯形,行简化阶梯形，标准形 2 3 4 5 4 6 8 10 0 0 0 0 2 A= 2 3 4 5 0 0 0 0 2 0 0 0 0