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* * 一般的,函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数,其中x是自变量.函数的定义域是 R. 图 象 性 质 a 1 0 a 1 定 义 域 : R 值 域 : ( 0 , + ) 8 过 点 ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 y x 0 y=1 (0,1) y=ax (a1) y x (0,1) y=1 0 y=ax (0a1) 指数式和对数式的互化： 将 ab＝ N化成对数式,会得到 logaN ＝ b 从 y ＝ ax 可以解得：x ＝ logay 因此指数函数 y ＝ ax 的反函数是 y＝logax ( a 0 ,且 a ≠ 1 ) 又因为 y ＝ ax 的值域为（0，＋∞） 所以 y＝logax ( a 0 ,且 a ≠ 1 ) 的定义域为（0，＋∞） 求指数函数 y ＝ ax ( a 0 ,且 a ≠ 1 )的反函数 函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )叫做对数函数， 其中 x是自变量，函数的定义域是（ 0 , +∞） 函数 y = logax (a＞0,且a≠1)是指数函数y = ax的反函数 对数函数和指数函数互为反函数 问题:作出函数 y ＝ log 2 x 和函数 y ＝log x的图像. 分析:互为反函数的两个函数图像关于直线y＝x对称 y＝x y＝ 2x y＝log2x 0 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 y＝ 2x 的反函数为 y＝log2x y＝x y= log x x 0 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 -3 -2 -1 -1 -2 -3 y y =( ) x 的反函数为 y =( ) x y= log x 图象特征 函数性质 x y 0 1 y = log2x y = log x 图像都在 y 轴右侧 图像都经过 (1,0) 点 1 的对数是 0 ㈠ ㈡ 当底数a＞1时,x＞1 , 则logax＞0 0＜x＜1 ,则 logax＜0 当底数0＜a＜1时,x＞1 , 则logax＜0 0＜x＜1 ,则logax＞0 图像㈠在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0)点 左边的纵坐标都小于0; 图像㈡则正好相反 自左向右看, 图像㈠逐渐上升 图像㈡逐渐下降 当a1时,y=logax在(0,+∞)是增函数 当0a1时,y=logax在(0,+∞)是减函数 定义域是( 0,＋∞） 图 象 性 质 a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1 定义域 : ( 0 ,+∞) 值 域 : R 过点 ( 1 , 0 ) , 即当 x ＝1时, y＝0 在 ( 0 ,+∞)上 是增函数 在 ( 0 ,+∞)上 是减函数 y x 0 x＝1 y=logax (a＞1) (1,0) (1,0) y x 0 y=logax (0＜a＜1) 例1 比较下列各组数中两个值的大小： ⑴ log 23.4 , log 28.5 　　⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 　　⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 解　⑴考察对数函数 y = log 2x， 因为它的底数2＞1, 所以它在(0,+∞)上是增函数, 于是log 23.4＜log 28.5 ⑵考察对数函数 y = log 0.3 x， 因为它的底数为0.3, 即0＜0.3＜1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log 0.31.8＞log 0.32.7 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论: ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 注:例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的, 对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小. 当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是log a5.1＜log a5.9 当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是log a5.1＞log a5.9 比较下列各题中两个值的大小 ⑴ log106