《有限元例题》课件.pptVIP

* 例0-1 一阶梯轴如图0-1所示，右端受一轴向载荷P 已知： 试用有限元法求解该问题 解：（1） 结构离散化 变形分析：只有轴向变形，各断面位移相同。假定每个节点有1个轴向位移，用线段表示轴向变形单元。 1 3 2 1、2、3 ——节点号 、 ——单元号 、 、 ——节点自由度编号 、 、 ——节点载荷编号 已知量： 、 、 未知量： 、 、 将结构离散成由3个节点，2个单元构成的离散结构。 (2) 选择位移插值函数。 在结构中任取一个单元 i j 在单元上取一局部参考系，i点为原点，由i点指向j点。 （ 方向为正方向） i、j —— 单元节点（端点）编号 、 —— 单元节点处位移编号 设单元内任一点x处（断面）的轴向位移为 假定 ——（1） 由位移连续性知： 在i点应有 （2） 将（2）、（4）代回（1）有 —— 单元长度 联立（2）（3） 在j点应有 （3） 解出： （4） 按 和 合并同类项 有 进一步写成矩阵形式有 令 —— 形函数矩阵 —— 单元节点位移向量 则有 （3）单元分析 基于最小势能原理 最小势能原理简介： 定义： —— 结构势能 —— 弹性应变能 —— 外力虚功 结构平衡的必要条件是： 取驻值（稳定平衡为极小值） 为应用最小势能原理，首先要计算结构的势能，分两部分： 1，弹性应变能 2，外力虚功 由于该结构所受外力非常简单，外力虚功可以表示为P与作用点位 移 的乘积 这里我们着重计算一下结构的弹性应变能：由于结构已经离散化成两个单元，整个结构的弹性应变能可以表示为2个单元弹性应变能之和，因而，单元分析的重要任务之一就是计算单元的弹性应变能。 单元弹性应变能的计算： 令 称单元刚度矩阵 则单元弹性应变能可以表示为 其中 —— 单元节点位移向量 对单元1来说有 对单元2来说 （4）整体分析 目的：计算整个结构的势能。 首先计算弹性应变能。结构已离散成2个单元，结构应变能 可以表示为2个单元应变能之和。 —— 结构整体刚度矩阵 —— 结构整体节点位移向量 结构外力虚功 —未知 结构势能可以表示为 代入泛函数极值条件有 或 *