2015高考数学中的内切球及外接球问题[附习题].doc

完美.格式.编辑 专业.资料.整理 高考数学中的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，则该球的体积为______________.. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则此球的表面积为 .. 例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. C A. B. C. D. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有 ∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.∴外接球的半径. 体积：. 小结 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_______________.. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积. 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长 即 练习：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为 例 6一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A. B. C. D. A. (如图2) 例7在等腰梯形中，，，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）. A. B. C. D. 解析：（如图3） 因为，，所以 图3，即三棱锥为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，故选C. 图3 例8 （2已知球的面上四点A、B、C、D，，，，则球的体积等于 . 解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于，，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.（如图4） 图4 图4 2、例9（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，，，若，则球的体积是 解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是为球的直径，O为球心，为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C两点间的球面距离是.（如图5） 图5 图5 本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。 三.多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A. B. C. D..选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 四.寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为 . 解 设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得. 又，∴球心必在所在的直线