《微积分课件-函数的连续性与间断点》课件.ppt

函数与极限 二、函数的间断点及其类型 第八节函数的连续性与间断点 二 函数的间断点类型 一 函数的连续性 三 小结与思考判断题 1.函数的增量 一、函数的连续性 2.连续的定义 例1 证 由定义2知 3.单侧连续 定理 定义3 定义4 例2 解 右连续但不左连续 , 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 例3 证 定义5 间断点分为第一类间断点与第二类间断点. 第一类间断点 如果 在间断点 处左右极限存在,则称点 为 的第一类间断点. 第二类间断点 如果 在间断点 处左右极限 中至少有一个不存在,则称点 为 的第二类间断点.特别地有: 1.跳跃间断点 例4 解 2.可去间断点 例5 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例5中, 特点 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 例6 解 3.无穷间断点： 如果 在点 处左、右极限 至少有一个为无穷大，则称点 为函数 的无 穷间断点. 4、振荡间断点：如果 在点 处无极限且函数值在某两个最值间变动无限多次，则称 为函数 的振荡间断点. 例7 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续. 判断下列间断点类型: 函数 例8 解 例9 函数 在点 是否间断?属于那种类型?能否补充或改变函数在该点定义使之连续? 解 函数 在点 没有定义,所以 是函数的间断点.对于 , . 因为 ,所以 是第一类间断点 . 令 ,即可使函数在 处连续. 对于 , 因为 ,所以 是第二类间断点且为无穷间断点 . * *