解析几何求圆的轨迹方程[专题一]师用.doc

PAGE 完美.格式.编辑 专业.资料.整理 专题一 求圆的轨迹方程 教学目标： 掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程； 掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程 理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。 教学重难点： 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程； 会求曲线的轨迹方程（圆） 教学过程： 第一部分 知识点回顾 一、圆的方程： 1．圆的标准方程：。 2．圆的一般方程： 特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆 思考：二元二次方程表示圆的充要条件是什么？ 答案： （且且））； 3．圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元： ；。 4．为直径端点的圆方程如 （1）圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为____________ （答：）； （2）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （答：或）； （3）已知是圆（为参数，上的点，则圆的普通方程为________，P点对应的值为_______，过P点的圆的切线方程是___________ （答：；；）； （4）如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是_ （答：[0，2]）； （5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：）； （6）若（为参数，，，若，则b的取值范围是_________（答：） 二、点与圆的位置关系：已知点及圆， （1）点M在圆C外； （2）点M在圆C内； （3）点M在圆C上。如 点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______（答：） 三、直线与圆的位置关系： 直线和圆有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）： 相交；相离；相切； （2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）： 设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如 （1）圆与直线，的位置关系为____ （答：相离）； （2）若直线与圆切于点，则的值____ （答：2）； （3）直线被曲线所截得的弦长等于 （答：）； （4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）； （5）已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则 　　A．，且与圆相交 　 B．，且与圆相交 　　C．，且与圆相离 D．，且与圆相离 （答：C）； （6）已知圆C：，直线L：。①求证：对，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：②或　　③最长：，最短：） 第二部分 直线与圆的典型例题 一、求圆的轨迹方程 1、用定义法求圆的轨迹方程 例1 设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。 分析:配成圆的标准方程再求解 解：配方得： 该方程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为， 消去m，得，由得x=m+3 所求的轨迹方程是， 注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中 变式1 方程表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。 解：原方程可化为 当a时，原方程表示圆。 又 当，所以半径最小的圆方程为 2、用待定系数法求圆的轨迹方程 例2 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为． ∵圆心在上，故． ∴圆的方程为． 又∵该圆过、两点． ∴ 解之得：，． 所以所求圆的方程为． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即． 又知圆心在直线上，故圆心坐标为 ∴半径． 故所求圆的方程为． 又点到圆心的距离为 ． ∴点在圆外．