《-随机变量函数的概率分布》课件.pptVIP

§2.4 随机变量的函数的分布 一.随机变量函数的概念 二、离散型随机变量的函数 说明： 例1 设有随机变量X的分布律为 例2 设有随机变量X的分布律为 三、连续型随机变量函数的分布 设X是连续型随机变量，其概率密度函数为fX(x) 例3 设有随机变量X的概率密度函数为 例4 设有随机变量X的概率密度函数为 定理 设X 是概率密度函数为fX(x) (aXb)的连续型随机变量， 例5 设随机变量X~N(μ,σ2),试求随机变量Y=eX的 例6 设随机变量X~N(μ,σ2), 作业： P59,33,35,36,37 * * 离散型 连续型 定理及其应用 设有函数 其定义域为随机变量X的一切可能 取值构成的集合， 如果对于X的每一个可能取值x， 个随机变量Y相应的取值为y=g(x), 则称Y为X的函数。 另一 记为： 随机变量函数的分布 本节的任务是： 　　已知随机变量X的概率分布，并已知Y=g(X), 要求随机变量Y的概率分布． 随机变量函数的分布 设X是离散型随机变量，其分布律： 因Y=g(X), 则Y的概率分布为P{Y=g(xi)}=pi 1.若随机变量X是离散型，则随机变量函数Y也离散型。 2.由于随机变量Y在取值上有可能相等， 则有 随机变量函数的分布 问：若随机变量X是连续型，则随机变量函数Y是否连续型。 随机变量函数的分布 随机变量Y=X-1,试求Y的分布律 随机变量Y=X-1的可能取值是 由此得随机变量Y=X-1的分布律 pk X -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 所以， P{Y=0} P{Y=1} P{Y=4} =P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7, = P{X= -1}= 0.2, pk Y 0 1 4 0.1 0.7 0.2 Y的分布律为： =P{X=1}=0.1, 随机变量函数的分布 随机变量Y=(X-1)2,试求Y的分布律. 随机变量Y=(X-1)2的可能取值是0,1,4 而设y=g(x) 是X的连续函数，Y=g(X) 是连续型随机 变量。 解 题 思 路 随机变量函数的分布 1.先求Y=g(X)的分布函数 ２. 求Y=g(X)的密度函数fY(y)＝FY(y) 利用Y=g(X)的分布函数与密度函数的关系 解：(1) 先求 Y =X-4 的分布函数 FY(y)： 随机变量函数的分布 随机变量Y=X-4,试求Y的概率密度． 整理得Y=X-4 的概率密度为： 本例用到变限的定积分的求导公式 随机变量函数的分布 （２）利用FY(y)＝fY(y)有， 解：先求Y=X2 的分布函数 FY(y)： 求 Y=X2的概率密度. 不可能事件 随机变量函数的分布 因 FY(y)＝fY(y) 说明：设 X~N(0,1),其概率密度为： 则 Y=X2的概率密度为： 说明：Y服从自由度为1的χ2 - 分布 随机变量函数的分布 量,其概率密度为 随机变量函数的分布 其它区间为零,(a可以是-∞,b可以是+∞).g(x)在(a,b)内严格单调 若函数其反函数x=h(y)有连续导数,则Y=g(X)是一个连续随机变 证明: 设随机变量Y=g(X)的分布函数为FY(y),则有 随机变量函数的分布 因随机变量X在区间(a,b)上变化时,随机变量Y在区间(αβ)上 变化 .其中 不妨设g(x)是严格单调增加的函数 随机变量函数的分布 因为X~N(μ,σ2), X的概率密度函数 试证明X的线性函数 Y=aX+b（a不等于0）也服从正态分布。 证: X 的概率密度为 由定理得： 随机变量函数的分布 小结： 1 一般情形下求随机变量函数的分布。 2 在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数 的分布。 重点：掌握一般情形下求随机变量函数分布的方 法：先求分布函数，再求导，求随机变量函数的 概率密度。 随机变量函数的分布 1 会用随机变量表示随机事件。 2 理解分布函数的定义及性质，要会利用分布 函数表示事件的概率。 3 理解离散型随机变量及其分布率的定义、性 质，会求离散型随机变量的分布率及分布函 数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分 布、二项分布、泊松分布。 4 理解连续型随机变量及概率密度的定义、性 质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其 运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀 分布、指数分布和正态分布。 5 会求随机变量的简单函数的分布。 本章要求： 随机变量函数的分布