《一阶可分离变量型微分方程》课件.ppt

第二节 一阶可分离变量型微分方程 一、可分离变量的微分方程 例题 1、齐次方程 P230 2、可化为齐次的方程 * 可分离变量的微分方程. 解法 为微分方程的通解. 分离变量法 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 又 两端积分 通解为 解 解 由题设条件 衰变规律 例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 设在微小的时间间隔 水面的高度由h降至 , 比较(1)和(2)得: 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 所求规律为 思考题 为所求通解. 求解微分方程 也是解. 练 习 题 练习题答案 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 1.定义 可化为分离变量的微分方程---齐次方程 例 1 求解微分方程 微分方程的解为 解 例 2 求解微分方程 解 微分方程的解为 例 3 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 A 入射角余角=反射角余角 由夹角正切公式 分离变量 积分得 得微分方程 平方化简得 抛物线 为齐次方程. （其中h和k是待定的常数） 否则为非齐次方程. 2.解法 1.定义 (2)有唯一一组解(h,k). (1) (2) 求通解 可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程. 可分离变量. 求通解,代回z=ax+by 解 代入原方程得 分离变量、积分得 得原方程的通解 方程变为 通解为 解 利用变量代换求微分方程的解 * *