《线性代数第三章》课件.ppt

第一讲 矩阵的秩；初等矩阵 对齐次线性方程组 应用高斯消元法删去多余方程，得 如何判定方程组(3.3)是否有多余方程？ 如何求(3.3)的保留方程组？ 定义3.1 矩阵A中最大非奇异子方阵的阶数称为矩阵A的秩，记为R(A) 例3.2求下列矩阵的秩 关于矩阵秩的结论: 定理3.1 若矩阵A有一个r阶子方阵非奇异，且所有r+1阶的子方阵都是奇异的，则R(A)=r 矩阵的秩 初等方阵 第二讲 矩阵的秩的求法和矩阵的标准形 一、等价矩阵具有相同的秩 定理3.7 若A~B，则R(A)=R(B)，即初等变换不改变矩阵的秩。 第三讲 线性方程组的相容性定理 小结: 齐次线形方程组的相容性定理. 非齐次线形方程组的相容性定理. 解：看行秩 例2：求上三角矩阵的秩 看 的线性相关性： 线性无关， 维数增加后得到的 依然线性无关， 而 与 都线性无关， 所以矩阵的秩＝行向量组的秩＝3＝非零行的行数 结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数 证明：只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行 是线性无关就行了。 设A是一阶梯形矩阵，不为零的行数是r。 因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以适当地 变换列的顺序，不妨设 其中 显然，左上角的r个r维行向量线性无关，当分量增加为 n维时依然无关，所以矩阵A的非零行的向量是线性无关的。 加上任一零行即相关，所以 矩阵A的秩＝矩阵A的行向量组的秩＝非零行的行数 求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形 矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。 例3: 求A的秩。 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 三、 矩阵秩的性质 (1) 等价的矩阵，秩相同。 (2) 任意矩阵 有 (3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。 可逆， 有 (4) 当AB=0时，有 （证明在习题课讲） 四、 矩阵的秩与行列式的关系 定理: n阶方阵A， 即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵） A的n个行（列）向量线性无关 A的n个行（列）向量线性相关 定义3： 矩阵A中，任取k行k列，交叉处的元素保持原来 的相对位置不变而组成的一个k阶子式，称为矩 阵A的k阶子式。 矩阵的秩的另一种定义： 定义4：设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有 的r＋1阶子式（如果有的话）都为零，则r(A)=r. 阶矩阵A的秩r是A中不等于零的子式的 最高阶数。零矩阵的秩为零。 注： 例： 问题：1) 可研究它的几阶子式? 2) 各阶子式分别有几个? 例6: 解： 例7： 解： 一、高斯消元法 二、齐次线性方程组 三、非齐次线性方程组 一. 高斯消元法 设一般线性方程组为 则称矩阵 为方程组(1)的系数矩阵。 称矩阵 为方程组(1)的增广矩阵。 称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。 当 时,齐次线性方程组 定义：线性方程组的初等变换 （1） 用一非零的数乘某一方程 （2） 把一个方程的倍数加到另一个方程 （3） 互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解. 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换. 初等行变换 化为行阶 梯形矩阵 则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。 化为行最 简形矩阵 由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况 1) 若 ，则方程组无解。 2) 若 则方程组有解， 当 有唯一解。 有无穷多解。 特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组 一定有解。 当 有唯一的零解。 有无穷多解，即有非零解。 举例说明消元法具体步骤： 例1：解线性方程组 解： 最后一行有 可知方程组无解。 例2：解线性方程组 解： 对应的方程组为 即 所以一般解为 （k为任意常数） * * 第三章 矩 阵的秩和线性方程组的相容性定理 第一讲 矩阵的秩；初等矩阵 第二讲 矩阵的秩的求法和矩阵的标准形 第三讲 线性方程组的相容性定理 一、引例 二、矩阵的秩 三、初等方阵 由于其系数矩阵 是奇异方阵而不能直接用克莱姆法则: (3.1) 一.引例 （3.2) (3.2)称为(3.1)的保留方程组。 把上述删去多余方程求得保留方程组的过程用矩阵表示就是： (3.3) 得到保留方程组 对一般齐次线性方程组 问题： 二、矩阵的秩 例3.1方程组(3.1)的系数矩阵A的秩R(A)=2,这是由于： 解 由于A的第2行是第1行的2倍，所以A的任一个三阶子方阵都是奇异的，因此有R(A)3,但因A有一个二阶子方阵的行列式 所以R(A)=2 回忆： 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换