向量数量积课件.pptVIP

* 平面向量数量积 授课教师 吴良喜 从力做的功出发，类比引入向量数量积概念 引入：物体在 F 作用下产生位移 S，那么F作功W=|F| |S|cosθ θ S F 一、两个非零向量的夹角 θ 注意： 作OA = a，OB = b b B a O A 那么∠AOB=θ（0≤ θ≤π） 叫做 a 与 b 的夹角 夹角θ=π a，b 反向 （1）夹角θ=0 a，b 同向 a ∥ b 已知非零向量 a b b a (2) θ=π/2时 a ⊥ b b A O B a (3)向量夹角是共起点后形成的角 D E 1350 例如：在三角形ABC中，∠ABC=450，BA 与 BC 夹角是多少？ BA 与 CB 夹角呢？ A B C 450 1350 二、数量积的定义 1、两非零向量 a 和 b ，夹角为θ，把|a| |b|cos θ， 叫a 与 b 的数量积 注意： （2）规定 0 与任一向量数量积等于0； 记作：a b=|a| |b|cosθ · （1）不能省略； · （3）a b是一数量。 · 2、向量数量积几何意义 a b A B O(B1) θ A θ B B1 O a b O A B B1 a b θ OB1 = |b|cosθ，叫b在a上投影 (数量) |b|cosθ的值可正、可负、也可为0。由θ决定 （1）向量b在a上的投影 （2）a b=|a| |b| cosθ的意义是：a 的模| a |与另一向量 b 在 a 上 投影 | b |cosθ之积 · 3、你能由数量积定义提出下列性质吗？（ a ≠0，b ≠0 ） ① e 单位向量 e a=|a|cosθ · ② a，b同向，a b = |a| |b| a，b反向，a b= ﹣|a| |b| a a= a 2=| a |2 向量平方等于模的平方 · · · ③cosθ=a b/|a||b| 夹角余弦等于数量积除以模的积， · ④a⊥b a b=0 非零向量垂直的充要条件是数量积为0 · ⑤| a b |≤| a | | b | · 三、数量积运用 分析：数量积定义是什么？夹角余弦与模 的积。由此知只要找出它们夹角，代入即可 例1：已知| a |=3，| b |=6，当① a ∥ b ； ② a ⊥ b；③ a 与 b 夹角为600时， 分别求 a b 解：① · 若 a 、b 同向，夹角θ=00， a b=| a || b |cos00=18 · 若 a 、 b 反向，夹角θ=1800 a b=| a || b |cosθ=-18 · ③ a b =| a || b |cos600=9 · ②∵a ⊥ b ∴a b=0 · π-A A B C D 分析：画出图形弄清AB，CA夹角 例2：在△ABC中，AB CA0， △ABC是什么△？ 解： · AB，CA夹角为π-A 由cos(π-A)=AB CA/|AB||CA|0 得cosA0，又0Aπ ∴A为钝角，故△ABC为钝角三角形。 · 练习： ①由 a b =0，能得出 a =0或 b =0？ ② e1，e2 是两个单位向量，e1 2= e2 2吗？ ③| p |=2，| q |=3，夹角θ=450，p q=？ ④a b =0 ( a ≠0，b ≠0)， a，b的夹角是多少？ · · · 1、两向量夹角：两向量共起点后构成的角 小结： 2、数量积：模的积与夹角余弦积（是一实数） 3、性质： ① a 2=| a |2 （向量平方等于模的平方） 作业：P121 练习中2、3、4 习题中3。 ② a⊥b a b=0（非零向量垂直的充要条件是数量积为零） · ③cosθ=a b/|a||b| （夹角余弦等于数量积除以模的积） · *