《数学归纳法2》课件.pptVIP

下面的框图表示了数学归纳法的基本过程： * * 数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 （2）假设n=k (k∈N＋ ， 且k≥ n0)时结论正确， 证明n=k+1时结论也正确 由（1）、（2）得出结论正确(命题成立)。 找准起点 奠基要稳 用上假设 递推才真 写明结论 才算完整 回顾：数学归纳法的概念 （1）验证：n=n0 （n0∈N+） 时命题成立。 （2）证明：假设n=k （k≥n0）时命题成立， 则n=k+1时命题也成立。 结论：对所有的n （n0∈N+， n≥n0）命题成立 奠基 假设与递推 回顾练习： 2、某个命题与自然数n 有关, 如果当n = k ( k∈N+ ) 时该命题成立 , 那么可推得当n = k + 1 时该命题也成立. 现在已知n = 5 时该命题不成立, 那么请判断以下各命题的正确性： (1) n = 4 时该命题不成立; (2) n = 6 时该命题不成立; (3) n = 1 时该命题可能成立; (4) n = 6 时该命题可能成立. 如果n = 6 时该命题成立, 那么对于任意n≥6 , 该命题都成立. (1) (4) 正确 , (2 ) (3) 不正确. 1.用数学归纳法证明：“ ”在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是 2 分析： （1）观察Sk和Sk+1 (2)从n=k到n=k+1项数上有什么变化,多了哪些项, 少了哪些项呢? (k+1)和(k+2) 2k和2k+2 1)各项分母都是连续的自然数 2)第一项的分母分别是 3)最后一项的分母分别是 3、设Sk＝ ,那么Sk+1＝Sk＋ 4.如下用数学归纳法证明对吗？ 证明：①当n=1时，左边＝ 　右边＝ 　　等式成立。 ②设n=k时，有 那么，当n=k+1时，有 即n=k+1时，命题成立。 根据①②可知，对n∈N＋，等式成立。 注意:用上假设 递推才真 第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。 既然不对，如何改正？ 数学归纳法证题三注意：1. n0不一定等于1 2.项数不一定只增加一项。 3.一定要用上假设 5、证明：1+2+22+…+2n-1=2n-1 (n∈N*) 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立，即是 1+2+22+…+2k-1=2k-1 则当n=k+1时， 1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+ 2k =2×2k-1 =2k+1-1 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。 因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N*都成立。 6.用数学归纳法证明 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 从n=k到n=k+1有什么变化 用假设 凑结论 证明: 2)假设n=k时命题成立,即 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝ ∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= =2. 命题成立 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ① 明确初始值n0并验证真假。（必不可少） ②　 “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 ③　分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时 　　命题形式的差别,弄清左端应增加的项。 ④　明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 　　方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并一定要用上假设。 数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。 数学归纳法的核心思想 作业分析: 课本作业 p50. 习题4. 1