《数学归纳法课件》课件.pptVIP

问题情境二：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例 下面的框图表示了数学归纳法的基本过程： 明确初始值n0，验证真假。（必不可少） “假设n=k时命题正确”，写出命题形式。 证明“n=k+1时”命题成立。 　　分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项。 　　注意用上假设， 要作结论　 （1）数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于 与正整数有关的问题。 （2）两个步骤，一个结论缺一不可，否则结论不能成立。 （3）在证明递推步骤时，必须使用归纳假设。 （1）思考题：问题 1中大球中有很多个小球，如何证明它们都是绿色的？ 哥德巴赫猜想 德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和.他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明. 1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现: 问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。” 这就是著名的哥德巴赫猜想. * * 珠海市实验中学数学组 在数学研究中，人们会遇到这样的情 况，对于任意正整数n或不小于某个数n0 的任意正整数n，都有某种关系成立。 对这类问题的证明我们将使用又一种重要的数学推理方法------数学归纳法 与正整数有关的命题 例如： 1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2 (n∈N+) n22n (n∈N+,N≥5), (1+x)n1+nx (x-1,n∈N+). n=5,a5=25 问题情境一 问题 1:大球中有5个小球，如何验证它们都是绿色的？ 完全归纳法 不完全归纳法 模 拟 演 示 问题3: 已知： －1＋3= 2 －1＋3－5= －3 －1＋3－5＋7= 4 －1+3－5＋7－9=－5 可猜想： －1+3－5＋ …＋（－1）n（2n－1）＝ 问题2：若an=(n2- 5n+5)2 ，则an=1。对吗？ 1 1 1 1 当n=1,a1= ;n=2,a2= ;n=3,a3= ; n=4,a4= ; （－1）n n 猜想： 都是质数 法国的数学家费马（Pierre de Fermat） (1601年～1665年) 。??? 十七世纪最卓越的数学家之一， 他在数学许多领域中都有极大的贡献， 因为他的本行是专业的律师， 为了表彰他的数学造诣， 世人冠以“业余王子”之美称， 归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。 （结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难） （结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想） （1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。 （2）不完全归纳法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法。 归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法。 归纳法 如何解决不完全归纳法 存在的问题呢？ 必须寻找一种用有限个步骤，就 能处理完无限多个对象的方法。 问题情境三 ?多米诺骨牌操作实验 数学归纳法 我们常采用数学归纳法来证明：由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题的正确性. （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立 （2）假设当n=k(k ∈ N＋ ,k≥ n0 )时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立。 这种证明方法叫做 数学归纳法 k=2,k+1=2+1=3 k=3,k+1=3+1=4 … k=10,k+1=10+1=11 … 下面我们来证明前面问题3中猜想的正确性 证明: (1)当n=1时,左边=－1,右边=－1, ∴左边=右边, ∴ 当n=1时，式（*）成立 (2)假设当n=k时，式（*）成立， 即 －1+3－5＋ …＋（－1）k（2k－1）＝（－1）k k 在这个假设下再考虑当n=k+1时，式（*）的左右两边 是否成立. 例1、用数学归纳法证明：当n∈N+时， －1+3