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中山大学 2007 数学分析参考答案 一
博士家园 guangrongpr
一：
（1）
π
t
π sin x π 0 sin( 2 − ) π
I ∫02 sin x +cos xdx ,令t 2 −x,则I ∫π π π d ( 2 =−x )
2 sin( −x ) +cos( −x )
2 2
π
cos t
∫02 sin t +cos tdx,
1 π sinx π cost 1 π sin x +cos x 1 π π
所以I （∫02 dx =+∫02 dx） ∫02 dx *
2 sin x +cos x sint +cost 2 sin x +cos x 2 2 4
1
（2 ）令 x x x
t e 则dt=de e dx 即dx dt
, ,
t
arcsin t 1 1 1 1
dt =−arcsin td =− arcsin t − − dt
原式= ∫ t2 ∫ t t ∫ t 1−t2
1 1 1 1 1 1
t 0时，− dt =− 2 dt d ( )
∫ t 1−t2 ∫ t 1 ∫ 1 t
−1 −1
2 2
t t
1 1 −x −2x
=+ − +c e =+ e − +c
ln | 2 1 | ln | 1 |
t t
原式= −e−x arcsin ex −ln(e−x + e−2x −1)+c
1 1 1 1 1 1
t 时，−
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