概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及.doc

· PAGE 24· 第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题 1、随机点落在矩形域的概率为 . 2、的分布函数为，则 0 . 3、的分布函数为，则 4、的分布函数为，则 5、设随机变量的概率密度为 ，则 . 6、随机变量的分布如下，写出其边缘分布. 0 1 2 3 1 0 0 3 0 0 7、设是的联合分布密度，是的边缘分布密度，则 1 . 8、二维正态随机变量，和相互独立的充要条件是参数 0 . 9、如果随机变量的联合概率分布为 1 2 3 1 2 则应满足的条件是 ；若与相互独立，则 ， . 10、设相互独立，，则的联合概率密度 ，的概率密度 . 12、 设 ( ? 、 ? ) 的 联 合 分 布 函 数 为 则 A =__1___。 二、证明和计算题 1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为，第二次取的球上标的数字，求的联合分布律. X Y 1 2 1 0 2 解： 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设为投入1号信箱的信数，为投入2 号信箱的信数，求的联合分布律. 解：的可能取值为0,1,2,3 的可能取值为0,1,2,3 0 1 2 3 0 1 0 2 0 0 3 0 0 0 3、设 函 数 F(x , y) = ??；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。 解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 因 P{0 ? ? 2， 0 ? ?1}= F(2 , 1) F(0 , 1) F(2 , 0) + F(0 , 0) = 111 + 0 = 1 0 故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。 4、设，有 证明：可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。 证明：易验证，又 ＝ 符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。 5、在[ 0,] 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y，求}的值。 解：，＝ 6、设随机变量的密度函数为 (1)确定常数 (2)求的分布函数 (3)求 解：(1) (2) (3) 7、设随机变量的概率密度为 求 解： 8、设随机变量在矩形区域内服从均匀分布， (1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2)问随机变量是否独立？ 解：(1)根据题意可设的概率密度为 于是，故 即 即 (2)因为，故与是相互独立的. 9、随机变量的分布函数为求： （1）边缘密度；（2）验证X,Y是否独立。 解：（1）， . , (2) 因为，故与是相互独立的. 10、一电子器件包含两部分，分别以记这两部分的寿命(以小时记)，设的分布函 数为 (1)问和是否相互独立？ (2)并求 解：(1) 易证，故相互独立. (2)由(1)相互独立 11、设 随 机 变 量 (? , ?)的 分 布 函 数 为 求：( 1 ) 系 数 A , B及 C的 值 ， ( 2 ) (? , ?)的 联 合 概 率 密 度 ?(x , y)。 解：( 1 ) 由 此 解 得 ( 2 ) 1 3 12、设相互独立且分别具有下列表格所定的分布律 0 试写出的联合分布律. 解： 0 1 3 13、设相互独立，且各自的分布律如下： 1 2 1 2 求的分布律. 解： 的分布律为 的全部取值为2,3,4 14、 X,Y相互独立，其分布密度函数各自为 求的密度函数. 解：的密度函数为， 由于在时有非零值，在即时有非零值， 故在时有非零值 当时， 故