求数列通项公式地6种办法.doc

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细） 总述：一．利用递推关系式求数列通项的7种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 倒数变换法、 由和求通项 定义法 （根据各班情况适当讲） 二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于： ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 例1 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则 所以数列的通项公式为。 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。 解法一：由得则 所以 解法二：两边除以，得， 则，故 因此， 则 练习1.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案： 练习2.已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. = 1 \* GB3 ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; = 2 \* GB3 ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; = 3 \* GB3 ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; = 4 \* GB3 ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。 二、累乘法 1.适用于： ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。 2．若，则 两边分别相乘得， 例4.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________. 解：已知等式可化为： ()(n+1), 即 时， ==. 评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出. 练习.已知,求数列{}的通项公式. 三、待定系数法 适用于 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 1．形如,其中)型 例6已知数列中，，求数列的通项公式。 解法一： 又是首项为2，公比为2的等比数列 ，即 解法二： 两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的…… 练习．已知数列中，求通项。 答案： 2．形如： (其中q是常数，且n0,1) = 1 \* GB3 ①若p=1时，即：，累加即可. = 2 \* GB3 ②若时，即：， 求通项方法有以下三种方向： = 1 \* roman i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列 即： ,令，则,然后类型1，累加求通项. = 2 \* roman ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即： , 令,则可化为.然后转化为类型5来解， = 3 \* roman iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项. 注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。 例7已知数列满足，求数列的通项公式。 解法一（待定系数法）：设，比较系数得， 则数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，即 解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略 解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略 **3．形如 (其中k,b是常数，且) 例8 在数列中，求通项.（逐项相减法） 解：， = 1 \* GB3 ① 时，， 两式相减得 .令,则 利用类型5的方法知 即 = 2 \* GB3 ② 再由累加法可得. 亦可联立 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②解出. **5.形如时将作为求解 分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。 例11 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同） 则，则是首项为4，公比为3的等比数列 ，所以 练习.数列中，若,且满足,求. 答案： . 四、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例16 已知数列满足，求数列的通项公式